线性基

简单来说一些数的线性基就是一组数据\((q_1,q_2,q_3...)\)使得这些数的任意一个子集的异或和可以由这组数据表示，其中\(q_x\) 的最高位是x

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[cqoi2013]新Nim游戏

普通Nim游戏的必胜条件是异或和不为0

这道题就是要我们先拿走一些使得第二个游戏者无论拿什么都不能使得剩余部分异或和为0，也就是说对于后者面对的集合没有一非空子集个的异或和是0

这就代表着所剩集合线性不相关！（即没有一个子集能用另一个子集表示

也就是说我们从大到小的往线性基里加元素，加不进去的就统计进答案

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define M 100001
using namespace std;
int n,m,k,a[M],d[M];
long long ans;
bool add(int x)
{
	for(int i=31;i>=0;i--)
	{
		if(!(x>>i)) continue;
		if(!d[i]) {d[i]=x; return 1;}
		x^=d[i];
	}
	return 0;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=n;i>=1;i--) if(!add(a[i])) ans+=a[i];
	printf("%lld",ans);
}

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2115: [Wc2011] Xor

考虑最终的答案形态，一定是一条路径和一些环

找到随便一条1-n的路径和搜索树上的所有环，把这条路径通过线性基调整为最大就是答案

至于为什么是对的

显然这条路径可以套上任意一个环，（走过去再原路返回

任意一条1-n的路径也可以用这条路径和其他环的异或来调整

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define M 1000001
#define LL long long 
using namespace std;

int n,m,k,cnt,ver[M],head[M],nex[M],vis[M],x,y;
LL p[M],edge[M],d[M],c[M*10],z,ans;
void add(int x,int y,LL z)
{
	ver[++cnt]=y, nex[cnt]=head[x], head[x]=cnt, edge[cnt]=z;
	ver[++cnt]=x, nex[cnt]=head[y], head[y]=cnt, edge[cnt]=z;
}

void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=nex[i])
	{
		if(!vis[ver[i]]) d[ver[i]]=d[x]^edge[i], dfs(ver[i]);
		else c[++cnt]=d[ver[i]]^d[x]^edge[i];
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z), add(x,y,z);
	cnt=0; dfs(1); ans=d[n];
	for(int i=1;i<=cnt;i++) 
		for(int j=62;j>=0;j--)
		{
			if(!(c[i]>>j)) continue;
			if(!p[j]) {p[j]=c[i]; break;}
			c[i]^=p[j];
		}
	for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
	printf("%lld",ans);
}