数论1.1（一些函数及筛法）

一些定义

数论函数：定义域在正整数的函数

积性函数：\(\forall a\perp b,f(ab)=f(a)\times f(b)\)

完全积性函数：\(\forall a,b,f(ab)=f(a)\times f(b)\)

栗子

• 常数函数$$1(i)=1$$
• 幺元函数$$e(n)=[n=1]$$
• 恒等函数$$id(n)=n$$

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欧拉函数

\(\phi(i)\)表示\(1-i\)中与\(i\)互质的数的个数

引理：

• 如果\(n\)为素数p，\(\phi(n)=n-1\)
• 如果\(n\)为素数的次方，\(\phi(p^a)=(p-1)\times p^{a-1}\)
• 如果\(n\)为两数之积，\(\phi(a\times b)=\phi(a)\times\phi(b)\)
• 若\(n=p_1^{a1} \times p_2^{a2}\times...\times p_k^{ak}\), \(phi(n)=n\times (1-1/p_1)\times (1-1/p2)\times ...\times(1-1/p_k)\)

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欧拉定理

\(IF\ a\perp m,\ \ a^{\phi(m)}\equiv 1\ \ (mod\ \ m)\)

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欧拉函数的线性筛法

• 性质1 \(\phi(p)=p-1\)
• 性质2 \(IF\ i\ mod \ p=0,\ \ (i*p)=p*\phi(i)\)
  证明
  \(\ \because n\)与\(i\)不互质，\(\therefore i\)与\(n+i\)不互质
  \(\ \because [1,i]\)中不与i互质的数有\(i-\phi (i)\)个，
  \(\ \therefore(i+1,p\times i]\)中一共有\(p\times \phi(i)\)个数\(\perp i\times p\)
• 性质3 \(IF\ i\ mod\ p\neq0,\ \ (i*p)=(p-1)*\phi(i)\)

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调和级数

\[1+\frac 1 2+ \frac 1 3 + \frac 1 4 + ...\approx ln\ n \]

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除数函数

\[\sigma _k(n)=\sum_{d|n}d^k \]

\(\sigma_0\)表示因子个数
\(\sigma_1\)表示因子和
积性函数

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狄利克雷卷积

\[f*g=h \]

\[h(z)=\sum_{x*y=z} f(x)*g(y) \]

有交换律和结合律
如果\(f,g\)都是积性函数，\(h\)是积性函数

• 验证卷积
  \[h(p^k)=\sum_{i=0}^kf[(p^i)\times g(p^{k-i}) \]

栗子

• \(\varphi*1=id\)即\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
• \(\varphi=\mu *id\)
• \(\sigma=id*e\)
• \(e=\mu*1\)
• \(id=\varphi*1\)

给定\(f,g\),求卷积前n项的做法-->暴力\(O(n\ ln\ n)\)

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莫比乌斯函数

\[n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times .. \times p_m^{k_m} \]

\[if\ squarefree\ \mu(n)=(-1)^m$$(就是说每一项的系数都是一次) $$otherwise\ \mu(n)=0\]

\[\mu(n)=\mu(p_1^{k_1})\times \mu(p_2^{k_2})\times ...\times\mu(p_m^{k_m}) \]

积性函数，但不是完全积性函数

\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]$$可改写为$$u*1=e \]

证明：

\[n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times .. \times p_m^{k_m} \]

\[n_0=p_1\times p_2\times p_3\times .. \times p_m \]

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n_0}\mu(d) \]

当\(p_1\perp d\) ,$$\mu(dp_1)=\mu(d)\times\mu(p_1)=-\mu(d)$$

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n_0}\mu(d)=\sum_{d|\frac{n_0}{p_1}}(\mu(d)+\mu(dp_1))=0 \]

线性筛法

void Linear_Shaker(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!ism[i]) {prm[++tot] = i; mu[i] = -1;}
		for (int j = 1; j <= tot; j++)
		{
			int num = prm[j] * i;
			if (num > n) break;
			ism[num] = 1;
			if (i % prm[j] == 0) break;
			mu[num] = -mu[i];
		}
	}
}

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莫比乌斯反演

\[g=f*1 \]

如果知道\(f,1\)直接求就行了啊

但是如果只知道\(g,f\)呢

反演！！！

\[g=f*1 \]

\[g*\mu=f*1*\mu \]

\[g*\mu=f*e \]

就是说

\[g(m)=\sum_{d|m} f(d)\Leftrightarrow f(m)=\sum_{d\times k=m} g(d)\times \mu(k) \]

栗子

• YY的gcd

  

  \[g(k)=\sum_{p\in P\wedge pd=k}\mu(d) \]
  \[f(p)=[p\in P] \]
  \[g(k)=\sum_{pd=k}\mu(d)*f(p) \]

  预处理卷积！！

  然后每组询问的答案变成$$\sum_{k=1}^{min(n,m)} \lfloor \frac n k \rfloor\lfloor \frac m k\rfloor g(k)$$

  \(\lfloor \frac n k \rfloor\lfloor \frac m k\rfloor\)只有\(O(\sqrt n)\)种取值

• 数表

  也就是说\((i,j)=\sigma(gcd(i,j))\)

  记\(f_a[d]\)表示\(gcd(i,g)=d\)的格子的贡献

  \[f_a[d]=\left\{\begin{matrix}0,&\sigma(d)>a&\\ \sigma(d),&oterwise\end{matrix}\right. \]
  \[ans=\sum_df_a[d]\sum_k\mu(k)\lfloor\frac n{dk}\rfloor\lfloor\frac m {dk}\rfloor=\sum_t\lfloor\frac n t\rfloor\lfloor\frac m t\rfloor(\sum_{dk=t}f_a[d]\mu(k)) \]

  把所有变量离线下来，每次修改改变的h复杂度\(O(n\ ln\ n)\)

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杜教筛

• \(\sum\mu\)

  \[\mu*1=e \]
  \[f(n)=1-\sum^n_{i=2}f(\lfloor \frac n i\rfloor) \]

  预处理前\(n^{\frac 23}\)的\(\mu\)时间复杂度是\(O(n^{\frac 2 3})\)

int Mu(int n)
{
if(n<N) return mu[n];
if(mu[n]) return mu[n];
int res=0;
for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res+=(r-l+1)*Mu(n/l);
}
return mu[n]=1-res;
}

- $\sum\varphi$

同↑

```cpp
int Phi(int n)
{
    if(n<=N) return phi[n];
    if(P[n]) return P[n];
    int res=0;
    for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        res+=(r-l+1)*Phi(x/i);
    }
    return P[n]=n*(n+1)/2-res;
}

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拉格朗日插值

给出n个点\((x_i,y_i)\) 找出一个过所有点的多项式\(f(x)\)

对于每一个点找一个函数使这个函数只在对应 \(x_i\)时取值是\(y_i\)其余\(x\)取值都是0

\[f(x)=\sum_{y=1}^n\prod_{j\ne i}\frac{x-x_i}{x_i-x_j} \]

预处理\(P(x)=\prod(x-x_i)\) \(n^2\)求出\(f(x)\)