2021.1.13杂题

easy part

CF1614D2 Divan and Kostomuksha

• 给你序列a，让你给a重排，求$\sum_{i=1}^ngcd(a_1,a_2,\cdots,a_i)$的最大值

• $n\leq 1e5 , a_i\leq 2e7$

CF559C Gerald and Giant Chess

• 给定一个$n*m$的棋盘，棋盘上只有$k$个格子是黑色的，其他格子都是白色的

• 从左上角走到右下角不经过黑格，每一步可以向右或者向下移动一格，一共有多少种可能的路线

• $n,m\leq 1e5\ ,\ k\leq 2000$

CF1539E Game with Cards

• 你左右手上各有一张卡片，初始都是0

• 接下来$k$次操作，每次给你一张新卡片，强制你必须左手或右手装上这张卡片，并且满足左手和右手都在每次询问给定的区间内

• 问你是否可以做完所有操作并输出方案

• $n\leq 1e5, 值域\leq 1e9$

ABC232E-Rook Path

• 在$n*m$的象棋棋盘上$(x_1,y_1)$有一辆车，问你$k$步以后到达$(x_2,y_2)$的方案数

• $n,m\leq 1e9\ ,\ k\leq 1e6$

CF1467D Sum of Paths

• 你有一个序列$\{a_i\}$,有个东西随机出生并且之后随机向左或向右，经过一个格子就会加上它的贡献（重复经过重复算）

• 问你走k步的所有可能的情况的代价和

• $n\leq 5000,k\leq 5000,a_i\leq 10^9$

CF1336C Kaavi and Magic Spell

• 给你字符串S/T，接下来你需要把S的每个首字母扔到一个字符串A的前端或后端（A一开始是空的），问你T是A前缀的方案数

• $n\leq 3000$

CF1110D Jongmah（Mahjong）

• 你有n块麻将，麻将上有值$a_i$

• 每次出牌可以出三连单或者三个相同的

• 问你最多可以出几次牌

• $n,m\leq 10^6$

CF1503C Travelling Salesman Problem

• 给你一张单向完全图，每个点有权值$a_i,c_i$，ij之间的边权是$max(c_i,a_j-a_i)$

• 问你从1到n再回到1并且经过所有城市恰好一边的最短路径长度

• $n\leq 10^5,a_i,c_i\leq 10^9$

CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend

• 给你一个序列，每次你可以给一个元素+1或-1，问你他单调递增最小需要操作次数

• $n\leq 10^6$

CF1203F2 Complete the Projects (hard version)

• 你有一些任务，每个任务有权值$a_i,b_i$，你完成i任务需要你至少有$a_i$的$rating$，完成后你可以获得$b_i$的$rating$

• 最开始你有$m$的$rating$

• 问你最多可以完成多少任务

• $n\leq 100,a_i\leq 30000,b_i\in [-300,300]$

CF1541E2 Converging Array

• 现在有长度为$n$的数组$a$和长度为$n - 1$的数组$b$，进行无穷次如下过程直至$a$数组值收敛

• 1. 选择一个数字$i$
• 2. 同时使 $a_i = min(a_i, \frac{a_i + a_{i + 1} - b_i}{2}),\ a_{i + 1} = max(a_{i + 1}, \frac{a_i + a_{i + 1} + b_i}{2})$（没有取整）

• 定义$F(a, b)$为操作完成后$a_1$的值

• 现在你知道数组$b$和长度为$n$的数组$c$，你需要保证$\forall i \in [1, n],\ 0 \le a_i \le c_i$

• 有$q$组询问，每次问使$F(a, b) \ge x$的数组$a$有多少个

easier part

CF1515E Phoenix and Computers

• 有 $n$ 台电脑排成一排。每次手动打开一台电脑，同时若一台电脑两侧的电脑均开启，则这台电脑会自动开启。
• 求开启全部电脑的方案数，对质数 $p$ 取模。
• $3 \leq n \leq 4000$，$10^8 \leq p \leq 10^9$。

CF1621G Weighted Increasing Subsequences

• 给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_i\}$。对于其上升子序列 $a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_k}$，定义其权值为：

$$\sum\limits_{j=1}^k [\exists x \in (i_k,n],a_x>a_{i_j}]$$

• 求所有上升子序列的权值和，答案对 $10^9+7$ 取模。
• $1 \leq \sum n \leq 2 \times 10^5$。

CF605E Intergalaxy Trips

• $n$ 个点的有向完全图，每天边 $(u,v)$ 有 $p_{u,v}$ 的概率出现。
• 求最优策略下，从 $1$ 号点走到 $n$ 号点的期望时间，绝对误差或相对误差不超过 $10^{-6}$。
• $1 \leq n \leq 10^3$。

WTF19E e

• 一张有 $M$ 个位置的长椅，初始为空。
• 有 $M$ 个人依次落座，每个人会在长椅中满足 自己与相邻共三个位置均未被占据 的位置中随机选择一个坐下。若不存在满足条件的位置则不落座。
• 随机选择 $N$ 个连续的位置，求当 $M$ 趋近于无穷大时，这 $N$ 个位置的落座位置与给出序列 $s$ 一致的概率的极限（$s$ 中 X 表示有人，- 表示无人）。
• 可以证明答案可以表示成 $p+\frac{q}{e}+\frac{r}{e^2}$，其中 $p,q,r$ 均为有理数，对 $10^9+7$ 取模。
• $1 \leq |S|=N \leq 1000$。

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(下面是私货)

GFOJ1905 Zayin and Raffle / GFOJ2078 西行寺无余涅槃 / CF1119H Triple

• 给定 $p_1,\cdots,p_k$ 及 $a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{n,k}$，对每个 $S \in [0,2^m)$ 求：

$$[x^S]\prod_{t=1}^n \Big(\sum\limits_{i=1}^k p_i x^{a_{t,i}} \Big) \mod 998244353$$

• 其中卷积定义为 或卷积 或 异或卷积。
• $m+k \leq 20$，$k \leq 9$，$0 \leq a_{i,j} < 2^m$。

ARC132F Takahashi The Strongest

• T，A，S 在玩石头剪刀布，共有 $k$ 轮。定义一套策略是包括 $k$ 个字符的字符串，表示每一轮的决策。
• T 将从他的 $n$ 套策略随机选择一套，A 将从他的 $m$ 套策略随机选择一套。对于 S 的 $3^k$ 种策略，求至少一轮种 S 是唯一的赢家的概率。
• $1 \leq k \leq 12$，$1 \leq n,m \leq 3^k$。

备选

CF1541D Tree Array

CF1437E Make It Increasing

(P2501 [HAOI2006]数字序列)

CF1353F Decreasing Heights

CF1316E Team Building

CF484D Kindergarten

CF1371E2 Asterism (Hard Version)

CF543D Road Improvement

CF708C Centroids

CF1453E Dog Snacks