DP优化——矩阵优化
矩阵优化
矩阵快速幂，相信大家已经会了
还是要说两句：矩阵乘法的特点是，不满足交换律，满足结合律，满足分配律
模板题：斐波那契数列
变形
缺什么补什么，有不确定的信息就先将递推式写出来，然后根据具体情况加维
带常数项 k
递推方程：\(f_{n}=f_{n-1}+f_{n−2}+k\)
带未知数项n
递推方程：\(f_{n}=f_{n−1}+f_{n−2}+n\)
求和
递推方程：\(f_{n}=f_{n-1}+f_{n−2}\)
求：\(\sum\limits_{i=1}^{n}{f_{i}}\)
暴力计算\(n\)次得出\(f_i\)数组肯定是不行的，但可以尝试将\(S_n\)放入矩阵跟随着\(f_n\)一起递推
于是得到一个式子：\(S_n=S_{n-1}+f_n\)
例题
1.连续幂次和
给定一个\(n×n\)的矩阵\(A\)和一个整数\(k\)，求\(\sum\limits_{i=1}^{k}{A^{i}}\)
解法：分治
对于单个\(A^i\)可以通过\(log\)次转移得到，需要计算多个时就需要再次分治
原理：\(A^1+A^2+A^3...A^n=A^1+A^2+A^3+...+A^{mid}+A^{mid}∗(A^1+A^2+A^3+...+A^{mid})\)
每次分治时计算一下\(mid\)，递归计算\(\sum\limits_{i=1}^{mid}{A^i}\)，\(log\)次乘法计算\(A^{mid}\)，另一半可直接得出（当\(k\)为奇数时还需计算\(A^k\)）
时间复杂度：\(n^3log_2^k\)
2.有向图中求合法路径方案数
远古无来源题目
给出一张\(n\)个点（从\(1\)到\(n\)编号）\(m\)条边有向图，每次询问求从\(s\)恰好走\(k\)步到达\(t\)的方案数，重边视作一条路径，每条边可重复走
设\(f_{k,i,j}\)表示从点\(i\)到达点 \(j\)恰好走\(k\)步的方案数
当\(k\)较小时可以使用\(bfs+dp\)，若存在一条边\(x->j\)，则\(f_{k,i,j}+=f_{k-1,i,x}\)
但如果\(k<=1e9\)就无法解决了
若用邻接矩阵\(a(i,j)\)来表示点\(i\)与\(j\)之间是否连边，那么根据上述转移式子可得： \(f_{k,i,j}\)=\(\sum\limits_{x=1}^{n}{f_{k-1,i,x}*a_{x,j}}\)
由于询问是不定向的，起点和终点可能是 \([1,n]\)中的任意一个，所以答案矩阵应包含\(n^2\)个信息，其中A(k)中的第\(i\)行第\(j\)列表示\(f_{k,i,j}\)，即用\(A(k)\)表示恰好走\(k\)步的答案矩阵
所以对于每条边\(i->j\)，使累乘矩阵中第\(i\)行第\(j\)列的数为\(1\)，最后直接求一个\(k\)次幂即可
延伸
-
询问改为：求走的步数不超过\(k\)的方案数，其他条件不变
直接套用变形中的求和即可
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在每条边上放一些物品，给出起点，求步数不超过\(k\)且收集完全部物品的方案数（收集一条边上的所有物品也要一步代价）
3.数学作业
小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：
给定正整数 n 和 m，要求计算$ Concatenate(1\dots n)\bmod m$ 的值，其中\(Concatenate(1\dots n)\)是将所有正整数 \(1,2,\dots,n\) 顺序连接起来得到的数。小 C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
数据范围： \(1\le n\le 10^{18}\)，\(1\le m\le 10^9\)
我们设前\(i\)个数的答案为\(f_i\)
那么可以列出如下转移方程：
\(f_i=f_{i-1}+10^{\left\lfloor\log_{10}i\right\rfloor+1}+i\)
发现第\(i\)项之和第\(i-1\)项有关，可以考虑矩阵快速幂优化递推
但是我们发现，指数k的值是会变化的，没法直接矩乘.然而它的值一共只有 18种，所以我们直接枚举k然后分块矩乘后合并
题单
- 小奇的集合 [BZOJ4547] [HDU5171]
【题解】hzwer - Power of Matrix [UVA11149]
Matrix Power Series [Poj3233] - How many ways? [Hdu2157]
- 牛继电器 Cow Relays [P2886]
