快速幂运算

一.快速幂取模运算模板

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1) res=res*x%mod;      //如果二进制最低位为1，则乘上x^(2^i)
        x=x*x%mod;                  //将x平方
        n>>=1;
    }
    return res;
}

ll mod_pow_1(ll x,ll n,ll mod){
   if(n==0) return 1;
   ll res=mod_pow_1(x*x%mod,n/2,mod);
   if(n&1)  res=res*x%mod;
   return res;
}

int main(){
    int x,n,mod;
    cin>>x>>n>>mod;
    cout<<mod_pow(x,n,mod);
    return 0;  
}

二.快速幂运用蓝桥学苑讲解

/**
 * 第九届蓝桥杯大赛个人赛总决赛真题2018a1
 题目描述：
标题：分数

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... 
每项是前一项的一半，如果一共有20项,
求这个和是多少，结果用分数表示出来。
类似：
3/2
当然，这只是加了前2项而已。分子分母要求互质。

注意：
需要提交的是已经约分过的分数，中间任何位置不能含有空格。
请不要填写任何多余的文字或符号。

输出：1048575/524288

算法分析：
2^10的指数10用二进制表示就是1010
也就是1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0
那么对应的快速幂就是X^8+X^4+X^2+X^0
提取出来就是1对应的数字有，0则没有；
2^8+2^2=2^10

运算符m&n的结果是求出m/n的剩余数据个数（余数）
运算符m&~n的结果是求出剩余数据的起始位置
*/ 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//快速幂模板x^n
long pow_2(int n){
    long x=2;
    long ans=1;
    while(n>0){
        if(n&1)       //检测二进制数n的最后一位 ,并且判断这一位是否需要跳过   
            ans*=x;
        n>>=1;        //右移一位，把刚处理的n的最后一位去掉
        x=x*x;        //推算乘积，x^2----->x^4----->x^8------>x^16......
    }
    return ans;
}
//最大公约数:可以直接用c++的内置函数std::__gcd(a,b)
int gcd(long a,long b){
    //return b==0?a:gcd(b,a%b);
    if(b==0)    return a;
    return gcd(b,a%b);
}
//最小共倍数
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int main(){
    //方法一
    cout<<gcd(pow_2(20)-1,pow_2(19))<<endl;
    cout<<pow_2(20)-1<<"/"<<pow_2(19)<<endl;
    //内置函数
    cout<<__gcd(pow_2(20)-1,pow_2(19))<<endl;
  
    //方法2：
    long a=(1<<19);
    long b=(a<<1)-1;
    cout<<b<<"/"<<a<<endl;
}

 三.矩阵快速幂模板

/*
*给定m*m的矩阵A,求A的n次幂A^n
*定义矩阵结构体
*/

const int MAXN=1e5;         //矩阵的阶
const int MOD=1e4;          //定义模
struct Matrix{              //定义矩阵
    int m[MAXN][MAXN];
    Matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
Matrix Multi(Matrix a,Matrix b){    //矩阵的乘法
    Matrix res;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        for(int j=0;j<MAXN;j++){
            for(int k=0;k<MAXN;k++){
                res.m[i][j]=(res.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%MOD;
            }
        }
    }
    return res;
}
//快速幂
Matrix fastm(Matrix a,int n){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        res.m[i][i]=1;          //初始化单位矩阵，相当于int res=1;
    }
    while(n){
        if(n&1)
            res=Multi(res,a);
        a=Multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}