割点和桥算法——摘自《算法艺术与信息学竞赛》

http://blog.csdn.net/cicirise/archive/2009/04/13/4068611.aspx

 

最近在做圆桌骑士的问题，在一个无向图中求出双连通分量，判断各双连通分量中是否含有奇圈，求出不能构成奇圈的节点的个数。思路大概明确了，但是写的时候老是出现问题，所以专题又看了一下双连通分量的算法，看来看去，还是刘汝佳的最经典，索性直接手打出来，方便以后再看

void DFS(节点编号k,k的父亲节点编号father,deep)
{
int i,tot;
染色C_k=灰色；
D_k=deep记录顶点k在树中的深度。
//Ancestot_k=deep,tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
If（(节点j和k相连)&&（i！=father）&&C_i==灰色）
  Ancestor_k=MIN（Ancestor_k,D_i）;
If（(节点i和k相连)&&（C_i==白色））
{
  DFS（i，k，deep+1）；
  tot++;
  Ancestor_k=MIN(Ancestot_k,Ancestor_i);
  if((k==root&&tot>1)||(k!=root&&Ancestor_i>=D_k)
  cut_k=true;
  if(Ancesot_i>D_k)
  bridge_i,k=true;
}
}
染色C_k=黑色；
}
DFS遍历本身查找除了连通块外并没有多大用途，关键是遍历的同时，可以记下很多有用的信息。下面来看看哪些是与DFS相关的常用信息：
无向连通图的割顶 我们先考虑割顶的性质
 考虑根顶点root。如果顶点x和y同时root的儿子，那么由此证明x无法通过非root的顶点与y相连，所以当根root有数量>1的儿子时，根是图的割顶。
 考虑非根顶点，再考虑i的某个儿子节点j。易知：
1. 和j相连的白色节点丢将成为j的子孙。
2. 和j相连的灰色节点都是j的祖先，由j指向i祖先的边称为后向边。
3. 黑色节点不可能与j相连。
如果i和j的子孙都不存在指向i祖先的后向边，那么删除顶点i后，顶点j和i的祖先或者兄弟将无法连通。因此，当且仅当i的某个儿子及儿子的子孙均没有指向i祖先的后向边是，i是图的割顶。
割顶的求法 在DFS框架的基础上增加Ancestor_k和tot值的计算。
Ancestor_k记录和k以及k的子孙相连的辈分最高的祖先，当Ancestor_j<D_j（j是i的儿子）时j和j的子孙存在指向i祖先的后向边。Tot便是顶点k的儿子的数量。注意，根与非根顶点要注意区别对待。
Cut_k=true表示顶点k为图的割顶
无向连通图的桥 如果y是x的儿子并且Ancestor_y>D_x(注意不是Ancestor_y>=D_x)，那么删除边（x,y）后，顶点y将与x不连通，所以（x,y）是图的桥
桥的求法 他也是基于DFS的框架的算法，Bridge_k,i=true表示记录边（i，k）为图的桥