P4869 albus就是要第一个出场

P4869 albus就是要第一个出场

1 题目描述

• 

2 分析

• 根据线性基的常识，我们知道可以把这n个数变成线性基，假设线性基里面的数的个数是k个。由于线性基产生的异或结果各不相同，所以我们知道这n个数一共有\(2^k\)种不同的结果。

• 接下来我们要考虑这些不同的数重复的次数问题。每个结果重复了多少次呢？我们可以把问题等同于有一个n元一次方程组，如下所示：

  \[(a_1,a_2,...,a_n)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{pmatrix}=b \]

  这里的\(a_i\)就是我们读入的第i个数，\(x_i\)就是方程组的解，在本题中就只有0和1两种可能性，b就是我们希望的异或结果。 由于我们知道a数组里面这n个列向量只有k个线性无关的，根据高斯消元，我们消元以后就只有k个主元，还有n-k个自由元，自由元每个元素都可以是0或者1，所以这个方程组就有\(2^{n-k}\)个解，所以每个b都在异或中出现了这么多次。

• 于是这个题目我们只要计算出比B小的异或结果有几个，然后乘以\(2^{n-k}\)，最后再加一，就是我们的答案了。 我们只要修改一下线性基，比如原来的线性基是\(1101_2, 101_2,10_2\)，我们可以修改为\(1000_2,101_2,10_2\)，这样的效果是等价的，但是方便我们计算第几大。如果我们要计算\(111_2\)是这里的第几大，我们可以先枚举d[3]，但是\(111_2\)里面没有\(2^3\)，所以我们不加d[3]，然后我们枚举d[2]，由于\(111_2\)里面有\(2^2\)，所以我们可以\(101_2\)异或进去，这样比\(111_2\)小的就有了2个，然后我们看d[1]，发现也必须要被异或进去，这样就变成了\(111_2\)，又多了1个比他小的。所以比B小的数共计有3个，B是第4个数。

• 时间复杂度：\(O(30\times n)\)，本题主要的复杂度在于建立线性基。

3 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int const N=1e5+10;  
int a[N],n,b,d[40],num,t[40];  
int ins(int x){
    for(int i=30;i>=0;i--) 
        if(x&(1<<i)){
            if(d[i]) x^=d[i]; 
            else {
                d[i]=x; 
                return 1; 
            }
        }
    return 0; 
}
int main(){
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]); 
        num+=ins(a[i]); 
    } 
    scanf("%d",&b);  
    for(int i=1;i<=30;i++)  
        for(int j=0;j<i;j++)  
            if(d[i]&(1<<j)) d[i]^=d[j];  
    int p=1;  
    for(int i=1;i<=n-num;i++)
        p=p*2%10086;  
    for(int i=1;i<=30;i++)  
        t[i]=t[i-1]+(d[i-1]>0); 
    int tmp=0,ans=0;  
    for(int i=30;i>=0;i--) {
        if(d[i]){
            if(b&(1<<i)) {
                tmp^=d[i];  
                ans+=(1<<t[i]); 
                ans%=10086;  
            }
        }
    }
    ans=ans*p%10086; 
    cout<<(ans+1)%10086<<endl;  
    return 0; 
}