bzoj2460 元素
Beijing2011 元素(bzoj 2460)
1 题目描述
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相传,在远古时期,位于西方大陆的 Magic Land 上,人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到,一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地,矿石越多则法力越强,但物极必反:有时,人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石,却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了,从而无法炼制出法杖,这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地,如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石,那么一定会发生“魔法抵消”。后来,随着人们认知水平的提高,这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后,著名法师 Dmitri 发现:如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号(编号为正整数,称为该矿石的元素序号),那么,一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集,那些矿石的元素序号按位异或起来为零(如果你不清楚什么是异或,请参见下一页的名词解释 )。
例如,使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”,因为这两种矿石的元素序号相同,异或起来为零。并且人们有了测定魔力的有效途径,已经知道了:合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值,并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在,给定你以上的矿石信息,请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。
2 分析
- 这是一个线性基的题目,我们对序号建立线性基。 这里有一个贪心,我们要把所有的矿石按照价值从大到小排序,然后依次选取,对于序号能放入线性基的,我们累加答案,否则不累加。
- 为什么做是正确的呢? 其实线性基类似于线性代数里面的线性无关向量组。 也就是给我们n个向量,然后这里面的极大线性无关向量组是k个,我们希望选出的这k个线性无关的向量总价值最大。 下面我们以k=2简单的做个证明。
- 假如我们的答案是i向量和j向量(i<j)是最优方案,这里i其实肯定是1,那么我继续假设有一组p向量和q向量(设i<p<q<j),假设p向量和q向量也是线性无关,但是总价值比i和j还要大,即按照我们贪心的方法好像不能得到最优解。
- 接下来我们证明这样的p和q其实是不存在的,因为k=2,也就是那么p和i线性相关,要么q和线性相关。如果p和i线性相关,那么i和q才是我们的最优解。如果q和i线性相关,那么i和p才是我们的最优解,和最起始的假设i和j是我们的最优解矛盾。 所以p和q不可能是我们的最优解。
3 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int const N = 1000 + 10;
#define ll long long
struct node
{
ll id;
int v;
} a[N];
int n;
ll d[100];
int cmp(node x,node y){
return x.v>y.v;
}
int ins(ll x ){
for(int i=62;i>=0;i--){
if(x&(1LL<<i)) {
if(d[i]&x) x^=d[i];
else {
d[i]=x;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lld%d", &a[i].id, &a[i].v);
sort(a+1,a+n+1,cmp);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(ins(a[i].id))
ans+=a[i].v;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
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