bzoj2460 元素

Beijing2011 元素(bzoj 2460)

1 题目描述

• 相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。

  一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零（如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释 ）。

  例如，使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起来为零。并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。

  现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。

2 分析

• 这是一个线性基的题目，我们对序号建立线性基。 这里有一个贪心，我们要把所有的矿石按照价值从大到小排序，然后依次选取，对于序号能放入线性基的，我们累加答案，否则不累加。
• 为什么做是正确的呢？ 其实线性基类似于线性代数里面的线性无关向量组。 也就是给我们n个向量，然后这里面的极大线性无关向量组是k个，我们希望选出的这k个线性无关的向量总价值最大。 下面我们以k=2简单的做个证明。
• 假如我们的答案是i向量和j向量（\(i<j\))是最优方案，这里i其实肯定是1，那么我继续假设有一组p向量和q向量（设\(i<p<q<j\)），假设p向量和q向量也是线性无关，但是总价值比i和j还要大，即按照我们贪心的方法好像不能得到最优解。
• 接下来我们证明这样的p和q其实是不存在的，因为k=2，也就是那么p和i线性相关，要么q和线性相关。如果p和i线性相关，那么i和q才是我们的最优解。如果q和i线性相关，那么i和p才是我们的最优解，和最起始的假设i和j是我们的最优解矛盾。 所以p和q不可能是我们的最优解。

3 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int const N = 1000 + 10;
#define ll long long
struct node
{
    ll id; 
    int v; 
} a[N];
int n;
ll d[100];  
int cmp(node x,node y){
    return x.v>y.v;  
}
int ins(ll x ){
    for(int i=62;i>=0;i--){
        if(x&(1LL<<i)) {
            if(d[i]&x)  x^=d[i];  
            else {
                d[i]=x; 
                return  1;  
            }
        }
    }
    return 0;  
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld%d", &a[i].id, &a[i].v);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);  
    int ans=0;  
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(ins(a[i].id)) 
            ans+=a[i].v;  
    }
    cout<<ans<<endl; 
    return 0; 
}