可持久化平衡树(fhq treap)
摘自： https://www.cnblogs.com/mjtcn/p/8028926.html %大神
正文
FHQ treap 的整理
treap = tree + heap，即同时满足二叉搜索树和堆的性质。
为了使树尽可能的保证两边的大小平衡，所以有一个key值，使他满足堆得性质，来维护树的平衡，key值是随机的。
treap有一般平衡树的功能，前驱、后继、第k大、查询排名、插入、删除。也比较好写
但是对于区间上的问题是不能做的，例如
- 区间增减
- 区间求最值
- 区间反转（倒序）
- 区间移动（把一段剪切、粘贴）
（splay是可以做的）
但是有一种神奇的数据结构，即可以满足treap的功能，也可以区间上进行操作——FHQ treap
FHQ treap 只有两个基本操作，所以代码量也小的多。
split
分离，讲一个treap分成两个treap。
有两种分离的类型，一个是按照权值val分，小于等于k的分成一个，大于的一个。另一种是取出区间上的前k个数。
权值：
对于一颗treap，小于等于k的点是存在于一颗子树中的，但是这颗子树可能有大于k的，所以在拆分时，是要重建这棵树的。
1 void Split(int now,int k,int &x,int &y) {
2 if (!now) x = y = 0;
3 else {
4 if (val[now] <= k)
5 x = now,Split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
6 else
7 y = now,Split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
8 pushup(now);
9 }
10 }
代码非常奇妙，它引用了两个值，x，y，这两个值就是重建的最重要的两个变量，一定要有取地址符。
x引用的是一个小于等于k的节点（假设是a）的右儿子，y引用的是一个大于k的节点左儿子。
这里a是小于等于k的，它的左子树也是小于等于k的，但是右儿子却不一定是小于k的，所以这里取出它的右儿子，当遇到第一个小于k的节点是，让它成为a的右儿子。
如下图，k=6，那么a是小于6的，往右走，发现右儿子是大于6的，所以a的右儿子是要改变的，接下来往左走的过程中，将a的右儿子指向权值为6的点即可。
重建的过程：如果当前点now的值小于k那么，他的左边一定都是小于k的，所以往右走。
复杂度 O(logn)O(logn)
区间上前k个数
1 void Split(int now,int k,int &x,int &y) {
2 if (!now) x=y=0;
3 else {
4 if (k <= siz[ch[now][0]])
5 y = now,Split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
6 else
7 x = now,Split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-1,ch[now][1],y);
8 pushup(now);
9 }
10 }
原理是一样的，不详细说了。
复杂度，O(logn)O(logn)
merge
合并两颗子树，保证第一颗树的所有点的权值都小于第二颗子树的所有节点。
那么重建只要满足堆的性质就好了。
还是有两个变量x，y，
1 int Merge(int x,int y) {
2 if (!x || !y) return x + y;
3 if (key[x] < key[y]) {
4 ch[x][1] = Merge(ch[x][1],y);
5 pushup(x); return x;
6 }
7 else {
8 ch[y][0] = Merge(x,ch[y][0]);
9 pushup(y); return y;
10 }
11 }
这里会发现，当x树的key小时，只将x的左半边加入到重建的树中，y子树小时，只将它的右半边加入到子树中。为了满足treap的性质。
复杂度 O(logn)O(logn)
两个基本操作就完成了。
insert
插入一个权值为k的数。
过程：把treap分成两个，小于等于k的，大于k的，把x和两个子树合并即可
Split(Root,k,x,y); Root = Merge(Merge(x,makenode(k)),y);
delete
删除一个权值为k的数。
过程：先分成小于等于k的 a 和大于k的 b ，之后将x分成小于等于k-1的 c 和大于k-1的 d ，d就是k，所以将d的两个儿子合并起来，然后与c，b合并即可；
Split(Root,k,x,y); Split(x,k-1,x,z); z = Merge(ch[z][0],ch[z][1]); Root = Merge(Merge(x,z),y);
k的排名
求k的排名
过程：分成小于等于k-1的 x ，和大于k-1 的 y 两个子树，子树x的大小就是k的排名。
Split(Root,k-1,x,y);
printf("%d\n",siz[x]+1);
Root = Merge(x,y);
第k个数
求第k个数
过程：和splay，treap一样的求法；
inline int getkth(int p,int k) {
while (true) {
if (k == siz[ch[p][0]] + 1) return p;
if (ch[p][0] && k <= siz[ch[p][0]]) p = ch[p][0];
else k-= ((ch[p][0] ? siz[ch[p][0]] : 0) + 1),p = ch[p][1];
}
}
前驱
求k的排名
过程：分成小于等于k-1的 x ，和大于k-1 的 y 两个子树，子树x中最大的数就是x的前驱。
Split(Root,k-1,x,y);
printf("%d\n",val[getkth(x,siz[x])]);
Root = Merge(x,y);
后继
求k的排名
过程：分成小于等于k的 x ，和大于k 的 y 两个子树，子树y中最小的数就是x的前驱。
Split(Root,k,x,y);
printf("%d\n",val[getkth(y,1)]);
Root = Merge(x,y);
FHQtreap的基本操作就是这些了
