lucas定理证明

组合数取模问题是信息学竞赛里面的竞赛问题，形如$\binom{n}{m}\%p$，当p是质数的时候，我们可以采用lucas定理来做。  

1.lucas定理的形式

把n和m写成p进制的形式:

$n=\left ( a_{0}a_{1}a_{2} ...a_{k}\right )_{p}$

$m=\left ( b_{0}b_{1}a_{2} ...b_{k}\right )_{p}$

那么： 

$\binom{n}{m}\%p=\prod_{0}^{k}\binom{a_{i}}{b_{i}}\%p$

 

2. 证明： 

如果把Lucas定理从递归的角度理解，它其实是这样的：

$n=ap+b,m=cp+d,(b,d<p,a=\left \lfloor n/p \right \rfloor,c=\left \lfloor m/p \right \rfloor)$

$\binom{n}{m}=\binom{a}{c}*\binom{b}{d}$

我们可以从二项式定理的角度来证明：  

对于任意质数p，有:

$(1+x)^{p}\equiv1+x^{p} (\%p)$

这个可以用费马小定理证明：  

$(1+x)^{p}\equiv1+x (\%p)$

$x^p\equiv  x(\%p)$

 同理我们可以知道： 

$(a+b)^p\equiv a^p+b^p(\%p)$,当然这个似乎和本题无关

有了上面的结论一下，我们根据二项式定理就可以推得：  

$(1+x)^n\equiv (1+x)^{\left \lfloor n/p \right \rfloor*p }\times (1+x)^b(\%p)$

$= (1+x^p)^{\left \lfloor n/p \right \rfloor }\times (1+x)^b(\%p)$

$=\sum_{0}^{k}\binom{\left \lfloor n/p \right \rfloor}{i} x^{pi}\times \sum_{0}^{k}\binom{b}{j}x^j(\%p)$

 

由于等式要恒成立，所以左右两边$x^m$的系数应该是要相同的。  

所以:

左边是$\binom{n}{m}$

右边是$\binom{\left \lfloor n/p \right \rfloor}{i}\binom{b}{j} (p*i+j=m,j<p)$

也就是$\binom{\left \lfloor n/p \right \rfloor}{\left \lfloor m/p \right \rfloor}\binom{b}{d}$