分治——最近点对问题 hdu1007

问题描述

n个点在公共空间中，求出所有点对的欧几里得距离最小的点对。
 

解法1： 很明显的，暴力解决是$O(N^2)$

 

解法2： 利用分治的思想，我们可以把算法优化到$O(nlogn*logn)$，甚至$O(nlogn)$

我们先对所有的点按照x坐标排序， 然后每次二分，很明显，这个二分很好写，难的是合并的操作。  即从左边A集合中选出一个点和右边集合B里面选出一个点。 

如果暴力的是去枚举左边和右边的点，还是$O(n^2)$。 

首先，我们先求出左边和右边集合的最小距离。 $d=min(dist_{left},dist_{right})$ 

 然后找出一个条左右集合的分界线。 如图所示

l就是左右集合的分界线。 

我们发现，我们只要在左边集合里面枚举横坐标在[mid-d,mid]和右边集合里面横坐标在[mid,mid+d]范围内的点进行配对就可以了。 因为明显的，另外的点的距离肯定更大。  

这样就大大缩小了我们枚举的范围，但是极端情况还是很大。 

 

 

1985年Preparata和Shamos在给出该问题的一个分治算法，指出对于左边的任意一个点，右边集合和他可以匹配成为最有解的最多只有6个点。

如图所示： 假如左边是p点，那么在分界线的右边和p点可以配对的点不会超过6个，即在那个δ×2δ的区间里面最多只有6个点。  

 

我们用反证法来证明。  

我们把δ×2δ这个矩阵按每$ \frac{2δ}{3}$来分，这样就有6个小矩形了我们可以知道每个小矩阵里面最多只有一个点，如果有两点，那么这两个点的距离一定要远一点，明显的，对角线的距离最短。 

此时对角线的距离就是$\sqrt{\frac{2δ}{3}×\frac{2δ}{3}+\frac{δ}{2}×\frac{δ}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{6}δ$

此时说明右边原来就是小于d的点对（d和δ这里是一样的） ，明显与原来不符。 

所以最多只有6个点。（当然了，其实还能证明更少点）  

所以我们每次合并，对于左边的点最多只有6个匹配的方案。 考虑匹配方案的时候，需要对y进行排序，那么时间复杂度就变成了$O(n*logn*logn)$。  

但是其实我们可以做的更好，我们可以在分治的过程中，顺便做一个关于y坐标的归并排序，这样就不用每次对y进行sort了，时间也可以优化到$O(nlogn)$

下面是我的代码，还是写了2个$logn$的做法。 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int const N=100000+10;   
struct node{
    double x,y;  
}a[N];  
int cmpx(int t1,int t2){
    return a[t1].x<a[t2].x;    
}  
int cmpy(int t1,int t2){
    return a[t1].y>a[t2].y;  
}
int n,t[N],c1[N],cnt1,c2[N],cnt2;    
double dist(int t1,int t2){
    return sqrt( (a[t1].x-a[t2].x)*(a[t1].x-a[t2].x)+(a[t1].y-a[t2].y)*(a[t1].y-a[t2].y)); 
}
double calc(int l,int r,int mid,double d){
    sort(c1+1,c1+cnt1+1,cmpy);  
    sort(c2+1,c2+cnt2+1,cmpy);  
    int k=1;    
    double ret=d;  
    for(int i=1;i<=cnt1;i++) {
        while (k<=cnt2 && a[c2[k]].y-a[c1[i]].y>d) k++; 
        for(int j=k;j<=cnt2;j++)   
            if( a[c1[i]].y-a[c2[j]].y<d)   
                ret=min(ret,dist(c1[i],c2[j]));  
            else break;  
    }
    return ret; 
} 
        
double close_dist(int l,int r){
    if(l==r) return 1e9;    
    if(l+1==r) return dist(t[l],t[r]);
    int mid=(l+r)/2; 
    double d1=close_dist(l,mid);  
    double d2=close_dist(mid+1,r);  
    double d=min(d1,d2);
    cnt1=cnt2=0;   
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        double dd=a[t[mid]].x-a[t[i]].x;  
        if(dd<d && dd>=0) c1[++cnt1]=t[i];  
    }      
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        int dd=a[t[i]].x-a[t[mid]].x;  
        if(dd<d && dd>=0) c2[++cnt2]=t[i];  
    }  
    
    return calc(l,r,mid,d);
}     
int main(){
    while (scanf("%d",&n)!=EOF){
        if(n==0) break;  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);  
        for(int i=1;i<=n;i++) t[i]=i;  
        sort(t+1,t+n+1,cmpx);  
        printf("%0.2lf\n",close_dist(1,n)/2);  
    }
    return 0; 
}