树上分块初步
转自这位大神
DFS序分块
将树节点按照DFS序每$\sqrt{n}$ 个分成一块，可以处理关于子树问题
但是由于在DFS序上分块基本都可以用logn的数据结构代替，所以很不常用
这种分块方式保证块的大小和数量，不保证块的连通和直径
Size分块
对于一个节点，如果它的父亲所属块的大小小于sqrtnsqrtn，则将该点加入其父亲的块
否则新建一个块，将该点加入新的块中
这种分块方式保证块的大小、直径，不保证块的数量
王室联邦分块
分块的名称来自BZOJ 1086: [SCOI2005]王室联邦
具体做法：
首先从根dfs整棵树，如果某棵子树剩余大小大于B，就将它单独成一块，并将它移除(即不再记录它的大小)
如果最后树的节点个数不足B，就把它加入上一块。z
这样分块每块大小为[B,3B)(只有一块，大小可能超过2B，但是小于3B），但不保证连通。
#include<cstdio>
#define maxn 1005
struct Edge{
int next,to;
}edge[maxn*2];
int fi[maxn],se,n,b,stack[maxn],t,belong[maxn],size,head[maxn];
inline void add_edge(int u,int v){
edge[++se].next=fi[u],edge[se].to=v,fi[u]=se,
edge[++se].next=fi[v],edge[se].to=u,fi[v]=se;
}
void out(int s){
size++;
while(t>s)belong[stack[--t]]=size;
}
void dfs(int x,int s,int fa){
for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs(v,t,x);
if(t-s>=b)out(s),head[size]=x;//如果当前子树栈中节点>=B,就自成一块
}
stack[t++]=x;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&b);
int u,v;
for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&u,&v),add_edge(u,v);
dfs(1,0,0);
while(t)belong[stack[--t]]=size;//将最后剩下的节点加入最后一个块
printf("%d\n",size);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",belong[i]);printf("\n");
for(int i=1;i<=size;i++)printf("%d ",head[i]);
return 0;
}
深度分块
设size=n−−√size=n,对于每个节点x，如果depth[x]%size==1depth[x]%size==1则称它是关键点。
于是这棵树就被这些关键点分成了若干块(关键点属于它下面的块)，如果某一块的大小小于size，就把它和上一个块合并。
这棵树的每个块大小就≥size≥size,块的个数就≤size≤size,并且每个块的直径≤size∗4≤size∗4
这种分块方式可以保证块的个数、块的直径，但不能保证块的大小，用于解决对树上的链进行询问
int dfs(int x){//深度分块
int si=1;
stack[top++]=x;//将x加入栈中
for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[x])continue;
dis[v]=edge[i].w,fa[v]=x,depth[v]=depth[x]+1,si+=dfs(v);
}
int k;
if(depth[x]%size==0&&si>=size){//如果当前点深度%size==0且子树大小>=size，则要和它的父亲分开
k=++s;block[x]=k;key[k]=x;//栈中x的子树中的节点和x一个块
while(stack[--top]!=x){
block[stack[top]]=k;
}
}
//否则和它的父亲一个块
return si;
}
例题 CodeChef TRIPS-Children Trips 树上分块， bzoj3351
保留块之间祖先关系的深度分块
设size=n−−√size=n,对于每个节点x，如果depth[x]depth[x]则称它是关键点。
对于任意两个关键点的最近公共祖先也设成关键点，可证明新加关键点数不会超过原关键点数。
将这些关键点建成一棵虚树，虚树上每个节点是一个块。
这些关键点之间的路径上的点都属于靠下的关键点所在的块
不在路径上的点都加入到最近的关键点(一定是自己的祖先)(与路径上的点分开保存)。
可证明每个块中路径上的点都是它子树的块中所有节点(在和不在路径上的点)和它自己块中不在路径上的点的祖先
这种分块可以保证块的直径和个数，不保证块的大小，可以解决以祖先关系为基础的询问
int dfs(int x,int depth){
int si=1,ma=0;//ma记录他有几个儿子的子树有关键点
for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
fa[v]=x,si+=dfs(v,depth+1);
if(k[v])ma++;//k==1表示v子树中存在关键点
}
if((depth%size==0&&si>=size)||ma>1){
k[x]=key[x]=1;//如果它本身是关键点 或 有2个及以上的儿子的子树有关键点，则它是关键点
}
else if(ma)k[x]=1;//它的子树有关键点
return si;
}
void dfs1(int x){
if(key[x])block[x]=++s;
for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){
dfs1(edge[i].to);
}
int v=x;
if(key[x]){
v=x;while(!key[fa[v]])v=fa[v],block[v]=block[x];//将路径上的点加入当前块
v=fa[v];add_road(block[v],block[x]);//构建虚树中的边
}
else if(!block[x]){
while(!key[fa[v]])v=fa[v];
v=fa[v],block[x]=-block[v];//不在路径上的点属于它最近关键点所在块(分开保存，所以存成负数)
}
}
