thu 2016 成绩单

期末考试结束了，班主任 L 老师要将成绩单分发到每位同学手中。L老师共有 nn 份成绩单，按照编号从 11 到 nn 的顺序叠放在桌子上，其中编号为 ii的成绩单分数为 W_iWi​。

成绩单是按照批次发放的。发放成绩单时，L 老师会从当前的一叠成绩单中抽取连续的一段，让这些同学来领取自己的成绩单。当这批同学领取完毕后，L 老师再从剩余的成绩单中抽取连续的一段，供下一批同学领取。经过若干批次的领取后，成绩单将被全部发放到同学手中。

然而，分发成绩单是一件令人头痛的事情，一方面要照顾同学们的心理情绪，不能让分数相差太远的同学在同一批领取成绩单；另一方面要考虑时间成本，尽量减少领取成绩单的批次数。对于一个分发成绩单的方案，我们定义其代价为： 

$a \times k+b \times \sum_{i=1}^{k}(\text{max}_i-\text{min}_i)^2a×k+b×i=1∑k​(maxi​−mini​)2$

其中 kk 是分发的批次数，对于第 ii 批分发的成绩单，\text{max}_imaxi​ 是最高分数，\text{min}_imini​ 是最低分数，aa 和 bb是给定的评估参数。 现在，请你帮助 L 老师找到代价最小的分发成绩单的方案，并将这个最小的代价告诉 L 老师。当然，分发成绩单的批次数 kk 是由你决定的。

输入格式

第一行包含一个正整数 nn ，表示成绩单的数量。 第二行包含两个非负整数 a,ba,b ，表示给定的评估参数。 第三行包含 nn 个正整数 ，w_iwi​ 表示第 ii 张成绩单上的分数。

输出格式

仅一个正整数，表示最小的代价是多少。

样例

样例输入

10
3 1
7 10 9 10 6 7 10 7 1 2

样例输出

15

数据范围与提示

$ n \leq 50, a \leq 1500, b \leq 10, w_i \leq 1000 $

n≤50,a≤1500,b≤10,wi​≤1000  

 

思路： 

明显的区间DP，f[i][j]表示i到j的最小代价。

发现无法直接转移，考虑加上辅助数组。注意到每次操作的代价只与max-min有关，且数据范围中数值最大值很小，可以判断新数组与max和min有关。

设f[i][j][l][r]表示在[i,j]区间中，最后一次取的子序列的数值范围在[l,r]中（且最后一次取的子序列包含j）的方案数。

f的转移可以考虑最后一个数和哪些序列一起被删除（显然在此区间中最后一个数一定是最后一个被删的）。

g的转移可以考虑最后一次操作的子序列最后一个数是哪个，直接暴力转移即可。复杂度O(n5)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
#define R register int 
#define rep(i,a,b) for(R i=a;i<=b;i++) 
#define Rep(i,a,b) for(R i=a;i>=b;i--) 
#define ms(i,a)    memset(a,i,sizeof(a)) 
#define gc()       getchar()
template<class T>void read(T &x){
    x=0; char c=0; 
    while (!isdigit(c)) c=gc(); 
    while (isdigit(c)) x=x*10+(c^48),c=gc();  
}
int const N=52;  
int n,A,B,a[N],b[N],c[1001],m,g[N][N],f[N][N][N][N];
int main(){
    read(n); read(A); read(B); 
    rep(i,1,n) read(a[i]),b[i]=a[i]; 
    sort(b+1,b+n+1);  m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;  
    rep(i,1,m) c[b[i]]=i;  
    rep(i,1,n) a[i]=c[a[i]]; 
    ms(63,f);ms(63,g);  
    rep(i,1,n) f[i][i][a[i]][a[i]]=0,g[i][i]=A,g[i+1][i]=0; 
    g[1][0]=0;  
    rep(L,2,n){
        for(int l=1;l+L-1<=n;l++){
            int r=l+L-1;  
            f[l][r][a[r]][a[r]]=g[l][r-1]; 
            rep(i,l,r-1) rep(j,1,m) rep(k,j,m){
                int tj=min(j,a[r]),tk=max(k,a[r]); 
                f[l][r][tj][tk]=min(f[l][r][tj][tk],f[l][i][j][k]+g[i+1][r-1]);  
            }
            rep(i,l,r) rep(j,1,m)  rep(k,j,m)
                g[l][r]=min(g[l][r],f[l][i][j][k]+g[i+1][r]+B*(b[k]-b[j])*(b[k]-b[j])+A);   
        }
    }
    cout<<g[1][n]<<endl; 
    return 0;  
}