Traditional Language Model
Traditional Language Model通常用于回答下述问题：
How likely is a string of English words good English ?
\(p_{LM}(\)the house is small\()\ge p_{LM}(\) small the is house\()\)
\(p_{LM}(\)I am going home\()\ge p_{LM}(\)I am going house\()\)
生成该句子 \(W=w_1, w_2, w_3, w_4...w_n\) 的概率为\(p(W)\) 如何计算？
我们可以使用 chain rule 将该句子分解（decompose）:
\[\begin{split}p(w_1, w_2, w_3...w_n) &=p(w_1) * p(w_2|w_1)*p(w_3|w_1,w_2)\cdots* p(w_n| w_1, w_2\cdots w_{n-1})\end{split}
\]
我们发现 \(p(w_n| w_1, w_2\cdots w_{n-1})\)需要很多前置项\(w_1, w_2\cdots w_{n-1}\)，在数据集中很难计算，十分稀疏（sparse）。
Markov 假设
- 当前词只和前面的词相关；
- 只和前面的\(k\)个单词相关
这样表示就相对简便。
uni-gram model
\[P(w_i|w_0\cdots w_{i−1})\approx P(w_i)
\]
Bi-gram model
\[P(w_i|w_0\cdots w_{i−1})\approx P(w_i|w_{i-1})
\]
Tri-gram model
\[P(w_i|w_0\cdots w_{i−1})\approx P(w_i|w_{i-1},w_{i-2})
\]
例如，2-gram的 language model：
\[p(w_1, w_2, w_3,\cdots w_n)\approx p(w_1) * p(w_2|w_1) * p(w_3|w_2) \cdots p(w_n|w_{n-1})
\]
n-gram probability estimation
2-gram概率估计
\[p(w_2|w_1)=\frac{count(w_1,w_2)}{count(w_1)}
\]
所以我们只需要找一个大词库，然后统计\(w_1\)出现的次数和\(w_1,w_2\)共同出现的次数，即可。
Linear interpolation
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Bigram: \(P(w_i∣w_{i−1})=\lambda_2 P(w_i∣w_{i−1})+ (1−λ_2) P(w_i)\)
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Unigram: \(P(w_i)=\lambda_1 P(w_i)+(1-\lambda_1)\frac{1}{N}\)
