数据结构与算法分析 – Disjoint Set（并查集）

什么是并查集？
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

并查集的主要操作
1.合并两个不相交集合
2.判断两个元素是否属于同一集合

主要操作的解释及代码
一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。
(1).合并两个不相交集合 操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。 那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合，b图为合并后id(b)=id(g)

   1:  void init(){
   2:      int i;
   3:      for(i=0;i<maxn;i++)
   4:          id[i]=-1;
   5:  }
   6:  void Union(int x,int y){
   7:      int rx=find_root(x);
   8:      int ry=find_root(y);
   9:      if(rx==ry)
  10:          return;
  11:      id[ry]=rx;
  12:  }

(2).判断两个元素是否属于同一集合仍然使用上面的数组,则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

   1:  bool judge(int x, int y)
   2:  {
   3:      return find_root(x) == find_root(y);
   4:  }

并查集的优化
(1).路径压缩
刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O（n）的复杂度，这显然不是我们想要的。
对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面,这就是路径压缩了。

   1:  int find_root(int x){
   2:      if(id[x]==-1)
   3:          return x;
   4:      else
   5:          id[x]=find_root(id[x]);
   6:      return id[x];
}

(2).rank合并
1.按照树的高度合并。

   1:  int rank[N]={0};// 节点高度的上界
   2:
   3:  void Union(int x, int y)
   4:  {
   5:      int rx=find_root(x);
   6:      int ry=find_root(y);
   7:      if (rank[rx] > rank[ry])
   8:          id[ry] = rx;
   9:     else {
  10:          id[rx] = ry;
  11:          if (rank[rx] == rank[ry])
  12:              rank[ry]++;
  13:      }
  14:  }

2.按照集合的大小合并

   1:  int rank[N];// 集合的大小
   2:
   3:  void init(){
   4:  for(int i=0;i<N;i++){
   5:      id[i]=-1;
   6:      rank[i]=1;
   7:  }
   8:  void Union(int x, int y)
   9:  {
  10:      int rx=find_root(x);
  11:      int ry=find_root(y);
  12:      if (rank[rx] > rank[ry]){
  13:          rank[rx]+=rank[ry];
  14:          id[ry] = rx;
  15:      }
  16:     else {
  17:          rank[ry]+=rank[rx];
  18:          id[rx] = ry;
  19:      }
  20:  }

并查集系列题目[HDU]：http://acm.hdu.edu.cn/problemclass.php?id=721