伯努利数（Bernoulli number）

 

 设B₀＝1，当k＞0时，定义

这些B_i(i＝0, 1,…, k)被称为伯努利数。按定义，自然得出：B₁＝－，B₂＝，B₃＝0，B₄＝－，B₅＝0，B₆＝，B₇＝0，B₈＝－，…。伯努利数是瑞士数学家雅各布·伯努利引入的数，出自于他的著作《猜度术》(1713)。除了B₁外，当k为奇数时，B_k＝0；当k为偶数时，B₂, B₆, B₁₀,…是正分数；B₄, B₈, B₁₂,…是负分数。雅各布·伯努利引入伯努利数的目的是解决所谓“等幂和”的问题：求

     S_k(n)＝1^k＋2^k＋…＋n^k

对于     S₁(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)

     S₂(n)＝1²＋2²＋3²＋…＋n²＝n(n＋1)(2n＋1)，

     S₃(n)＝1³＋2³＋3³＋…＋n³＝〔n(n＋1)〕²＝n⁴＋n³＋n²，

     S₄(n)＝l⁴＋2⁴＋3⁴＋…＋n⁴＝n(n＋1)(2n＋1)(3n²＋3n－1)＝n⁵＋n⁴＋n³－n。

到17世纪，已求到了S₁₇(n)，费马等人由此看出S_k可用S_k-1, S_k-2,…的代数式表示出来。一般地，当k为奇数时

    S_k(n)＝n(n＋1)×(n的多项式)，

当k为偶数时，

    S_k(n)＝n(n＋1)(2n＋1)×(n的多项式)。

最后可证明S_k(n)是n的k＋1次多项式

    S_k(n)＝a₁n＋a₂n²＋…a_k+1n^k+1

但是怎样求出这些系数a₁, a₂,…, a_k+1呢？雅各布·伯努利求出了系数间的规律性，并且得出了系数的具体表示，其中的关键性数列B_k被称为伯努利数，他给出了一个形式公式

    S_k(n)＝，

注意，这是的B ^k+1≡B _k+1，不是方幂，而是一个形式记法。按此得出

    （k＋1）S_k(n)＝n ^k+1＋（）B₁n ^k＋（）B₂n^k－1＋…＋（）B_kn。

 确定了伯努利数，就解决了等幂和的问题，还可以把伯努利数进行推广，如定义

中的B_n为伯努利数，其中| x |<2π。伯努利数在数论中有许多用处。如对于佩尔方程

    x²－py²＝－4 (p≡1 (mod 4)是素数)，

      B₁₄    7N．C．安克尼和阿廷曾猜测它的最小解x₀＋y₀满足py₀。1960年，莫德尔证明了在p≡5(mod 8)时，上述猜想等价于伯努利数     的分子不被p整除。稍后，S．乔拉证明了对p≡5(mod 8)时的同样结论。在费马大定理的证明中，德国数学家库默尔在证明时把素数分为正则素数和非正则素数，并证明了对于正则素数，费马大定理成立，从而取得费马大定理证明的第一次突破。而正则素数就是用伯努利数定义的：设p＞3，如果伯努利数B₂，B₃，…，B_p-3的每一个分子都不是p的倍数，这样的素数p就叫做正则素数，否则叫做非正则素数。下面列出几个伯努利数的正分子：

      B₁₆    3617

      B₁₈    43667

      B₂₀    174611

      B₂₂    854513

      B₂₄    236364091

伯努利数在数学分析及近似计算中都有着广泛的应用。