求一个数组中第k小的数

1. 题目：给定一个无序整数数组，返回这个数组中第k小的数。

2. 分析：最平常的思路是将数组排序，最快的排序是快排，然后返回已排序数组的第k个数，算法时间复杂度为O（nlogn），空间复杂度为O（1）。使用快排的思想，但是每次只对patition之后的数组的一半递归，这样可以将时间复杂度将为O（n）。

　　具体的思路：将数组按照第一个数字first进行划分，将比first小的放在左边，比first大的放在右边，first放中间。返回patition之后first的下标j。如果此时j+1==k（+1是因为数组下标从0开始）那么说明a[j]就是要找的第k个数。如果j+1<k,递归查找左半部分；如果j+1>k，递归查找右半部分。代码如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cassert>
#include <fstream>
#include <cmath>
using namespace std;

int patition(int* num, int start,int end)
{
    int p=num[start];
    int i=start;
    int j=end+1;
    while (true)
    {
        while (num[++i]<=p && i<=end)
        {
        }
        while (num[--j]>p && j>=start)
        {
        }
        if (i>=j)
        {
            break;
        }
        swap(num[i],num[j]);
    }
    num[start]=num[j];
    num[j]=p;

    for (int i=start;i<=end;i++)
    {
        cout<<num[i]<<"  ";
    }
    cout<<endl;
    return j;
}

//求一个无序数组的第k小的数字
int findKthSmall(int* num, int start,int end,int k)
{
    int length=end-start+1;
    assert(num && length>0 && k>0 && k<=end+1);
    int j=patition(num,start,end);
    if (k==(j+1))
    {
        return num[j];
    }
    else if (k<(j+1))
    {
        return findKthSmall(num,start,j-1,k);
    }
    else
    {
        return findKthSmall(num,j+1,end,k);
    }
}

int main()
{
    enum{aLength=8};
    int a[aLength]={12,4,8,8,8,1,15,9};
    for (int i=0;i<aLength;i++)
    {
        cout<<"The "<<i+1<<"th small number is :"<<findKthSmall(a,0,aLength-1,i+1)<<endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：平均时间复杂度O（n），这个见文章分析《递归式复杂度的计算》。

上面两种算法都是要改变原数组结构的（或者将原数组拷贝一份），下面的算法不需要改变原数组的结构。

思路：维持一个大小为k的大顶堆，遍历一次数组，如果数组中的元素比堆顶的元素小，那么就更新堆。最后堆中存放的是数组中的前k小元素。堆顶元素即为要求的第k小个数。

分析：这种算法不需要改变原数组结构，但是需要额外维持一个大小为O（k）的堆，时间复杂度为（nlogk）。当k比n小的多的时候，这个算法也是一个很好的选择。