#14 2024.2.14

有人情人节相爱。

有人情人节看海。

有人情人节打模拟赛。

583. loj3709 「ZJOI2022」面条

这个题过于神秘了。

首先假设 $n$ 是奇数，不然预处理 log 轮就好了。

然后会变成 xxyyzz...uuvvw 的形状，并且不会变。

特别神秘的是，注意到把 y-x,z-y,...,v-u,w-v 写成序列，那么新的差分序列是原序列的置换，再乘一些 -1 的系数。

更神秘的是，搞出一个大排列 $b_1,b_2,...,b_m,-b_m,-b_{m-1},...,-b_2,-b_1$，那么拉一次面是一个 $i \rightarrow (2i) \bmod (2m+1)$ 的置换。注意到只需要计算 $\sum _{i = 1}^x d^k_i$ 和 $\sum _{i = 1}^n d^k_i$ 就行了，这个可以每个置换环拉出来然后差卷积。

剩下一些细节不想管了。

585. lg8114 [Cnoi2021] 六边形战士

从原图转到三维图太神仙了！

三维图到 LGV 是自然的。

LGV 之后的推式子比较粪，太难推了摆了。

586. loj3710 「ZJOI2022」计算几何

因为是对称的，不妨设 $a \leq b \leq c$，注意到 $c$ 对 $a+b$ 取 min。

然后原来的点（下图中蓝色的点），在原来的点构成的正三角形的重心处加上新点（黑色的点），并对相邻的新点连边。注意到选择一个原来的点，相当于选择了两个新点匹配。那么答案等价于新点的最大匹配。把图按照如下红线分割，就变成了 [Cnoi2021] 六边形战士 。

587. loj3711 「ZJOI2022」深搜

紫砂。

把期望差分，把 $\geq v$ 的看作黑色，$< v$ 看作白色。

$f(x,y) =1$ 的充要条件是 $path(x,y)$ 全黑，且中途不能进入有白点的子树。具体地，$f(x,y) = [path(x,y) = black]\prod _{u \in path(x,y) - x} {1 \over cw_u + 1}$，$cw_u$ 是 $u$ 的邻居中有白点的子树个数。

那么设 $g_u$ 为 $u$ 子树内答案，则 $g_u = (u = black) + \sum_{v \in son_u} [v = black]g_v coef(u,v)$。这就有一个 $O(n^2)$ 的做法，只能拿 25 分。这就是 zjoi 吗 /jk。

考虑用 ddp 维护这个东西。令 $g_u = k_u g_{son_u} + b_u$。注意到本质不同的 $coef(u,v)$ 变化的时刻只有 $O(n)$ 个，直接上矩阵就行了。细节的话，每个点的儿子的 $cw$ 只有两种，所以可以分开写，暴力树剖大概是 $O(n \log^2 (3^3))$。

首先可以用全局平衡二叉树把一个 log 砍了，然后看起来后面的 3^3 可以变成 2^3。懒得管了。代码咕了。

588. xsy5336 还差一个题

589. xsy5337 队列题

$O(n \sqrt n \log n)$ 把 $O(n \sqrt n)$ 吊起来锤。

怎么会是呢。

590. xsy5338 套路题

日树牛逼。

这个题出现了 $O(n \log^2 n)$，$O(n \log^4 n)$，$O(n\log n B + {n^2 \over B})$ 等等多个复杂度，有点太色了。

591. loj4088 「USACO 2024.1 Platinum」Mooball Teams III

你们这个 usaco 怎么难度是倒序啊（恼。

大力容斥，发现式子非常傻逼吗，可以直接上个 ds。

592. loj4087 「USACO 2024.1 Platinum」Merging Cells

暴力哥赢麻题。我记得 zx2003 说过他做题的习惯是先写个暴力，然后一步步搞出正解。感觉这种做法很牛！

首先我先写出了个从下到上 $O(n^4)$ 的区间 dp： https://loj.ac/s/2004537。

然后观察转移式子，优化到了 $O(n^3)$：https://loj.ac/s/2004549

再看这个 $O(n^3)$ 的玩意，毛估估一下大概是从底到上选一条路径，走过一个点有 $1 \over len-1$ 的系数。然后从上往下做，就是 $O(n^2)$ 的了：https://loj.ac/s/2004558。

593. loj4086 「USACO 2024.1 Platinum」Island Vacation

你们这个 usaco 怎么难度是倒序啊（恼。/fn/fn/fn。

做不出来非常裂开，狂暴 orz bronya19C！

大概是维护一个 $pEscape_u$，表示从 $u$ 的某个父亲走进来之后，从这个仙人掌里 $u$ 的另一条路径走出去的概率。然后狂暴推式子，最后是一个简单的背包。

太困了懒得写了。

594. qoj3843 Permutation on Tree

俺有个 $O(n^2)$ 做法。

595. qoj1197 Draw in Straight Lines

可能重新理解了网络流的建图！

596. loj3702 「联合省选 2022」学术社区

完全照抄 https://www.luogu.com.cn/blog/pengSiJin/lian-ge-xing-xuan-2022-xue-shu-she-ou-analysis。

597. xsy5323 集合（set）

狂暴 orz MiniLong！

598. loj3097 「SNOI2019」通信

哎呀我操这不会啊我紫砂吧我。

$(S,x_i,1,0),(x_i,T,1,W),(x_i,x_j',1,|a_i - a_j|),(x_j',T,1,0)$。

随便优化一下连边就过了。

599. loj3269 「COCI 2020.3」Skandi

这个翻译多少有点大病。贴个能看懂的：

给定一个 $n \times m$ 的矩阵，其中的白色点为 0，黑色点为 1。黑色点可以往下一直扩展到底部，把白色点变成蓝色点，直到遇到黑色点为止。同理，也可向右扩展。

问整个矩阵经过最小多少次扩展才能扩展为整个矩阵到不存在白色，并打印出每次扩展是从哪个点开始的，并打印出扩展方向。题目满足第一行第一列一定为黑色点。

那么一个黑点是否往右和下扩展，对应两个布尔变量 $r_i,d_i$。对于白色点，限制是 $r_x + d_y = 1$。考虑把 $r_x$ 和 $d_y$ 连边，那就是个二分图最小点覆盖。

600. The 2nd Universal Cup. Stage 10: Harbin

B

wa 了一发痛失一血 /ll。

M

L

D

跟 thupc 某个题相同的套路，$w(i,j) = W(i) + W(j) - W(gcd(i,j))$，枚举 $d = gcd(i,j)$，对于同一个 $d$ 只会连接到最小的点。

F

yllcm 杂题选讲讲过。

G

一个长方形有用的点只有 $O(1)$ 个，就可以建图了。或者可以平面图欧拉定理搞搞。

H

这个官方题解太简略了，让人非常生气。我来做一点补充。以下是 pb 和 lcw 奋斗 1h 的成果（？。

枚举 $x_i>0$ 集合，那么可以列出下列方程：

$$\forall i \in[1,n], \ (\sum_j w_{i,j} x_j) - C = 0 \\ \sum x_i = 1 \\ x \geq 0$$

遗憾的是，这个系数矩阵很可能不满秩。我们试图说明，如果这个矩阵不满秩，那就一定非法。

成吉思汗 12:12:03
这波我大概完全理解了

成吉思汗 12:12:19
首先那个 [0,1]^n 其实是 [0,+inf)^n，因为有个 sum = 1

成吉思汗 12:13:20
那考虑原方程的解空间 S，如果 S 和 [0,+inf)^n 无交，那就寄，所以当 w 奇形怪状的时候，它有可能一开始就寄（存疑）

成吉思汗 12:14:06
在它不寄的情况下，S 交 [0,+inf)^n 这个空间里的 maxC，并把这三个东西交在一起，记为 T

成吉思汗 12:14:56
如果 T 不是一个点，那就说明可以走到 x_i = 0 的点，那就和 x_i > 0 的条件矛盾

成吉思汗 12:15:58
如何判定 T 是一个点？考虑原方程消出来的若干个不交线性组合一定是
x_i = v
至于那个 x+C = v，因为要 maxC，所以 x = 0，C = v，也矛盾了

成吉思汗 12:17:09
所以可以声称，矩阵不满秩的情况是非法的

成吉思汗 12:17:15
雾（？。

J

神必 SG。

E

想了个神秘贪心，完全错了 /ll。

正解是先二分个答案，然后贪心填序列。

C

之前见过类似的题，但是忘光了 /ll。

考虑倒序扫 S，那么 $[l,r]$ 的贡献等于 $[l,n] - [r+1,n] - 跨过[r,r+1]$。

跨过 $[r,r+1]$ 不太好算，考虑找到最长的 $[p,r]$ 满足 $[p,r] = S[1,r-p+1]$。那答案就变成 $[l,n] - [p,n] + S[1,r-p+1]$。都是容易预处理的。

I

大概理解了题解。

无法理解 zky 的代码。

A

神秘计数题。有点乐趣的！

601. xsy5366 快速生成树(fst.cpp)

有显然折半警报器+启发式合并做法。没想到 std 就是这玩意。感觉非常不牛。

602. xsy5367 游戏(game.cpp)

603. xsy5368 乡村规划

注意到 $k = 2$ 和 $k = 3$ 完全等价，然后就随便做了。

我思考了一下，感觉 $k = 4$ 也容易，因为本质不同的只有杏仁和两个环，贡献也是容易求的。