#11 2024.1.2

504. xsy5330 cake

505. xsy5331 简单数学题(math)

考虑求 ${n \choose m}$ 在模 $p^k$ 意义下的值。其中 $p$ 是很小的质数。发现我们只需要把 $n!$ 写成 $u \times p^{x}$ 就行了，其中 $u = n! \bmod p^k$。

发现 $n! \leftarrow ({n \over p})! \times \prod_{i \neq kp} i$，所以递归下去，只需要算后面这个东西。把它写成 $\prod (ip + j)$，发现是若干段。把它看作多项式，发现我们只需要 $p$ 的次数小于 $k$ 的项。散块可以暴力乘，整块可以进行倍增，只需要实现多项式平移就行了。因为只有 $k$ 项，所以平移很方便。

506. xsy5332 拯救创界山（mountain）

507. loj3990 「IOI2023」足球场

508. loj3992 「IOI2023」超车

509. xsy5345 killshot

510. xsy5346 game

511. xsy5347 starboy

绝世好题，只是模拟赛的时候想起了非常不好的回忆。

先来点前置知识：

• 合并两条不交的哈密尔顿链 $x,y$：考虑新链 $z$，每次取出 $x,y$ 的链头 $a,b$，若 $a \rightarrow b$，就把 $a$ 放进 $z$ 的链尾。否则把 $b$ 放链尾。
• 可以使用上面这东西套个分治，求出一个点集的哈密尔顿链。
• 利用强连通分量里的哈密尔顿链构造哈密尔顿环：类似强连通分量的耳分解，先随便找个耳，然后不断加最小的耳进去。
• 我自己 yy 的 $O(n)$ 求出强连通分量内从 $x$ 出发的哈密尔顿路：考虑以 $x$ 为根搞个 dfs 树，按照 dfs 序遍历，如果这条边向下指就无事发生。如果是要先往上走再往下，考虑从这条边的父亲先走到这条边的儿子，然后走完儿子子树之后，再走回原来的边。

先只考虑第二问。答案就是 $S$ 能走到的点集大小。

拉出原竞赛图上的链，显然只需考虑 $S$ 的那个连通块。找出这个连通块的哈密尔顿环，那么 ban 掉的点把环分成了 $k$ 段。显然 $S$ 能走到的点一定是每一段的一个后缀。一开始只有 $S$ 这个后缀，尝试不断增广获得所有后缀。先试着增广自己：设这一段是 $[L,R]$，中间有个 $S$。发现如果 $[S,R]$ 有能走到 $[L,S)$ 的边，就可以把这段后缀长度加一。然后增广别人，设另一段是 $[l,r]$，后缀端点是 $T$。发现如果 $[S,R]$ 有能走到 $[l,T)$ 的边，就可以把 $T$ 的后缀长度加一。只会增广 $n$ 次，每次复杂度是 $k$，所以是 $O(nk)$ 的。

考虑第一问：事实上和第二问差不多！首先找出所有后缀。那么每个后缀天然就是一条哈密尔顿链，把它们拼起来，再套用刚刚链变环的做法，变成一个 $\rho$ 状的东西，发现 $S$ 一定在环上！那就容易了！

512. loj3991 「IOI2023」山毛榉树

513. loj573 「LibreOJ NOI Round #2」单枪匹马

wtf 怎么跟 noi2021d2t2 一模一样。

514. loj574 「LibreOJ NOI Round #2」黄金矿工

515. loj3277 「JOISC 2020 Day3」星座 3

516. loj3278 「JOISC 2020 Day3」收获

有人看错题了，以为是每 $C$ 秒产出一个苹果，然后对着万能欧几里得自闭了一万年。我为什么老是干这种事。

考虑让树动，人站着不动。每棵树向它第一个碰到的人连边。每个人向它逆时针 $C$ 步之后遇到的第一个人连边，表示这次吃果子之后的下一个人。

那么树就会沿着这个图一直运动，发现这个图是基环树。答案就是在指定时间内树经过某个点的总次数。

考虑把基环树的一条边 $u \rightarrow v$ 断掉，这就变成了以 $u$ 为根的树。先统计树到 $u$ 之前的答案，这是容易的。考虑树经过 $u$ 之后的答案，发现树 $i$ 对点 $x$ 的询问 $T$ 的贡献是 ${T - t_i - d_x \over L} + 1$。大概按照 $T$ 排个序，简单处理一下余数就行了。

517. uoj509 【JOISC2020】迷路的猫

感觉是很厉害的题！

考虑 $A \geq 3$ 的情况：建出 bfs 树，然后每套边编号 $\min(dep_x ,dep_y) \bmod 3$。

考虑 $A = 2$ 的链的情况：把链染成 BBWBWW 这个东西一直循环，那么至多走错 3 步就知道正确方向是啥了。

考虑到树上：设当前要给点 $u$ 的儿子们染色，记 $faw_u = x$。如果 $u$ 有大于 1 个儿子，就全都染 $1 -x$。否则把深度最浅的有超过一个儿子的子树内的点 $v$ 找出来，在 $(fa_u,v)$ 的链上施以链的情况。可以根据 $x$ 来决定是以 $BBW$ 开头还是 $WWBB$ 开头。如果这个链过于短，那也可以找到方向。

518. loj3280 「JOISC 2020 Day4」首都城市

对于某个颜色，把虚树建出来，然后把自己向虚树边上的所有点连边！然后最小的 out=0 的连通块大小就是答案！

怎么连？好像可以倍增或者剖或者淀粉质！不管了！

519. loj3281 「JOISC 2020 Day4」传奇团子师傅

显然可以看成一个一般图最大独立集。

使用乱搞，感受这股劲！

反正是提答，可以搞各种各样的离谱算法。

520. loj3282 「JOISC 2020 Day4」治疗计划

按照时间做好像没啥前途。

设 $f_i$ 表示选 $i$，让 $[1,r_i]$ 都清空的最小代价。$i$ 能转移到 $j$ 当且仅当中间新长出来的东西能被清掉！

发现相当于最短路，套用 dijkstra 的思想，因为指向某个点的所有边权都相同，所以每次找到最小的一个点就把能转移的全都转移了。