#10 2023.12.25

483. loj3532 「NOI2021」轻重边

在车上花了 10min 造了一个毛毛虫树剖 /hanx。

不会 LCT。

484. loj3533 「NOI2021」路径交点

LGV 引理板子题。

还是不懂为什么 NOI 要放这种 0/100 的题。

485. loj3534 「NOI2021」庆典

题目条件的意思是缩完点是个外向数。

对于每次询问，把所有有关的点拉出来建虚树，显然不能走出虚树，那虚树上的一条边的状态是一样的。把虚树的每个点和每条边拉出来 bfs 即可。

486. loj3535 「NOI2021」量子通信

随便乱搞题。分 16 段，一定有一段相等，判 diff 可以每段 popcount。

487. loj3536 「NOI2021」密码箱

显然只有平衡树能完成这个操作。考虑矩阵。

答案大概能写成 {{0,1},{x,1}}{{0,1},{y,1}}...{{0,1},{z,1}}{a,b} 之类的东西。

然后对于 WE 分类讨论，发现它们可以对应成矩阵，那就无脑平衡树了。

488. xsy5309 路径（path）

？

489. xsy5310 迷失（lost）

如果只考虑一个强连通分量，周期是所有环长的 gcd。不同强连通分量之间完全不会影响，所以答案是所有强连通分量的答案的 lcm。

另外一个答案直接倍增即可。尝试构造了答案爆 int 的情况，似乎很难构造的出来。不管了。

490. xsy5311 树（tree）

考虑不合法的，那就是对于每个子树，在子树内的是 1，不在子树内的是 0，那就是一个极长同色连续段都是不合法的。那就 dsu on tree 维护区间，在外面套一个扫描线就过了。

好像 std 做法不太一样？研究研究。

491. loj3537 「NOI2021」机器人游戏

大概是，钦定最后一个合法位置 $r$。发现有关信息只需要前 $min(r,n-r)$ 位是否合法。

一个机器人只能把一个位置变成 0/1/x/1-x，发现对于一个机器人 $x$ 的一个位置 $i$，可以根据前 $len_x$ 个位是否合法，获得 0/1/x/1-x 的状态，对应到这一位上有 1/2/3 种填法。所以只需要记录 $dp_{i,S,0/1}$ 表示前 $i$ 位，最后 $min(r,n-r+1)$ 位的状态是 $S$，在 $S$ 的前面是否有合法位置。转移暴力，可以做到 $O(n^2 m 2^{n/2})$。

发现我们不关心每一位 0/1/x/1-x 的具体状态，我们只关心 $cnt_2$ 和 $cnt_3$。这可以通过 $b_0,b_1,b_x,b_{1-x}$ 求出，其中 $b$ 是个 bitset 集合。进行一个 bitset 的转移，大概能做到 $O({n^2 m 2^{n/2} \over w})$。

有点累了没写代码，贺了 zky 的。orz zky！

492. loj3931 「WC2023 / CTS2023」楼梯

考虑描述轮廓线。向下是 1，向左是 0。发现操作序列上如果有 $y - x + 1= q,a_x = 1,a_y = 0$ 就合法。发现 $a_1$ 一定是 1，$a_{p + 1}$ 一定是 0，并且是倍数，所以可以直接拉出 $a_{kq + 1}$ 的序列，求出中间的那个权值之后递归到某一半。

493. The 2nd Universal Cup. Stage 2: SPb

心态崩了来场 ucup 娱乐一下。

好像四舍五入等于摆了一天。

B

大力模拟 ymd。

A

使用经典套路，大概是 $ndp _i \leftarrow dp_i + \min (i,5-i)$。

I

?

J

最优解至多 tp 两次。

G

根据度数大小分别维护。

D

神秘构造。正方形特判。

把短边填满，然后中间可以填一条线，或者

$$*@*@*@*@\\*@*@*@*@$$

L

通信板子题。

E

神秘搜索题。使用神秘估价函数，搜最小的二十个就过了。

M

厉害题！

设 $f_n$ 为答案，$g_n$ 为长度为 $n$ 的没有 $S$ 的方案数。

$f_i = g_{i - m} - \sum_{b \in border} f_{i-m+b},g_i = |\sum|g_{i-1} - f_{i}$。

把所有的 $f$ 用 $g$ 替换，变成了线性递推。

K

模拟费用流板子题。

C

厉害题！等会写。

这个题的有向图版本是简单的，只需要考虑 $dep_u + w - dep_v$ 即可。

无向图版本比较牛，首先需要考虑每个简单环，然后把每个简单环染色，这里染色使用 xor hash。发现被染成同色的路径比较牛，总能找出多走 2*同色路径长度 的路线。再把这些东西取 gcd 即可。

H

sqrt tree，不知道为什么能过。

F

？

494. xsy5312 景点游览（vis）

考虑画出数轴。如果 $i$ 能到达 $j$，就连边 $i \rightarrow j$。发现答案区间没有往左的边和往右的边。

枚举 $r$ 作为区间的右端点。没有往右的边是容易的，扫描线的时候维护一个集合即可。令 $l = \max \{x \in S\} + 1$。对于 $i> j$ 的边 $i \rightarrow j$，相当于把 $(j,i]$ 全都 $ban$ 了。查询相当于查 $[l,r]$ 内没被 ban 的点数量。

但是现在有 $O(n^2)$ 条边，我们发现只需要保留原图的边就够了。原因是如果一条边不合法，在原图上对应一条路径，路径的起点和终点分别在区间内外，一定有条边跨过区间端点。

495. xsy5313 人生画卷(life)

OEIS 哥赢麻（？。

显然每个颜色要么包含，要么不交。对于一个用了 $k$ 个颜色的方案，有 $A_m^k$ 的系数。

大概设二元 GF $F$ 表示长度为 $n$，用了至少 $m$ 个颜色，允许有空格的方案数。$G$ 表示不允许有空格的方案数。

$$[x^i] F = (y+1)[x^{i-1}]F + y \sum_{j=2}^i([x^{j-2}]F)([x^{i-j}]F)$$

$$[x^i] G = y[x^{i-1}]G + y \sum_{j=2}^i([x^{j-2}]F)([x^{i-j}]G)$$

发现 $[x^i] G = y[x^{i-1}] F$，然后就不会解了（？？。

打了个表，往 OEIS 里扔了一下就过了（？。素质很差。

496. xsy5314 博弈游戏（game）

最简化版的单向链老鼠进洞板子题。傻逼。

497. 正睿神秘题

题意：给一棵树。每次询问给出 $k$ 个 dfn 区间，询问由这些区间的点构成了多少连通块。

题解：

考虑 $k = 1$。令 $nxt_u = u + size_u$，即走完 $u$ 子树之后走到的第一个点。对每个连通块以深度最小的点为根。如果 $u$ 是某个连通块的根且 $nxt_u \leq r$，则 $nxt_u$ 一定是另一个连通块的根。注意到 $l$ 一定是某个连通块的根，则从 $l$ 开始倍增即可。

考虑 $k \neq 1$。先对每个区间求答案，再减去不同区间之间的边。对于区间 $j$，考虑它和区间 $i(i<j)$ 之间连的边 $(u,v)$。发现 $u$ 一定在 $[l_j - 1,lca(l_j-1,r_j)]$ 这条链上。从左往右扫描区间，维护一个栈。扫到 $j$ 的时候，$i$ 区间在这条链上一定是一个连续段，可以用倍增求出交的大小，并且判断是否可以 $pop$ 掉 $i$ 区间。

498. loj3932 「WC2023 / CTS2023」比赛

发现限制很强！咋办呢。考虑取出出现次数最大的数，然后按照 110110110... 的顺序优先把这种数放完。其他的 shuffle 一下扔进去。

然后就随机调整！啪的一下就过了！很快啊！感受这股劲！

499. loj3933 「WC2023 / CTS2023」树据结构

学个马老师的 $O(n\log n )$ 跑路得了。

首先随机打乱边权。尝试求出每个点的 $faw$，且使得父亲的 $faw$ 小于儿子的 $faw$。把每个点都 query 一遍，答案为 $x$ 的扔进 $S_x$ 里。取出 $x$ 最小的 $S_x$，和当前不是任何点的 $faw$ 的最小的边权 $y$。进行一次 $exchange(x,y)$，然后 $S_x$ 中有且仅有一个点的 $query = y$，那么这个点的 $faw = y$。剩下的点扔进再次 query 获得的答案的集合。

现在我们有了每个点的 $faw$，尝试还原这棵树！记 $faw_u = i$，按照 $i$ 从小到大的顺序加点！二分 $faw_{fa} = j$。首先 $exchange(i,mid)$。若 $mid < query(u) < i$，则 $query(u) = j$。若 $query(u) = mid$，说明 $j \leq mid$。若 $query(u) = i$，说明 $j > mid$。

500. loj3988 「IOI2023」封锁时刻

庆祝 500 题！

考虑没交的情况，是个简单贪心。

考虑有交的情况！把 $x$ 到 $y$ 的路径上的点都选上小的一边。然后对于不在路径上的每个点，可以看作 付 $a_i$ 获得 1 贡献，$b_i$ 获得 2 贡献。路径上的每个点，可以随时花 $c_i$ 获得 1 的贡献。按照 $b_i$ 排序，枚举最大的选 $b_i$ 的点，那么前面一定都选了 $a_i$，那就变成了一堆 $b_i -a _i$。后面全是 $a_i$。线段树二分即可。

501. loj3989 「IOI2023」最长路程

注意到图连通块 $\leq 2$，且如果有两个连通块，这两个连通块分别是环。

考虑把图剖分成不交的两条链，使得每个点都在某条链中。考虑一次性加入两个点，可以和两条链的链尾简单分类讨论得到新链。

如果两条链之间没边，就返回长的链。否则取出链的两个端点，看它们和另一条链的端点有没有边。如果有可以把两条链拼起来。否则两条链分别是个环，二分出连接两条链的任意一条边即可。

502. xsy5327 早八（class）

数全 0 的区间。维护极长全 0 区间，加入或删除是简单分类讨论。

503. xsy5329 间谍（spy）

注意到一个点的覆盖范围是一个大凸包。那就变成了多边形数点。因为斜率和边数很少，可以每个斜率按照截距扫描线。