#7 2023.12.4

419. arc137c Distinct Numbers

注意到如果 $a_{n-1 } + 1 \neq a_{n}$，显然是先手必胜的。

然后一个人显然不会主动走到这个状态，于是 $[0,a_n]$ 之内的每个数都要被遍历一遍。于是答案就和 $n - a_n$ 的奇偶性有关了。

420. arc137d Prefix XORs

大概只跟 $n-i$ 和 $j$ 的 and 有关。fmt 一下就做完了。

421. arc137e Bakery

怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。怎么不会做呢？急眼了。

大概就是假装全都选，然后是区间覆盖模型！

422. arc136c Circular Addition

423. arc136d Without Carry

424. arc136e Non-coprime DAG

425. arc136f Flip Cells

大概是设 $F$ 表示答案的 PGF，$G$ 表示从终止态开始到终止态的 PGF，$H$ 表示从起始态开始到终止态的 PGF。显然 $H = FG$，答案是 $F'(1)$。所以只需要求出 $G(1),H(1),G'(1),H'(1)$ 即可。

大概可以通过奇技淫巧搞出式子，要注意上述几个值是否都有意义。如果不是，就同乘点东西让它有意义，然后暴力推式子就草过去了。感觉很牛！

426. arc135d Add to Square

427. arc135e Sequence of Multiples

序列可以贪心。令 $b_i = {a_i \over i}$，则 $b_i - b_{i-1}$ 只有 $O(\sqrt[3]{n})$ 种。找连续段需要奇技淫巧，每个连续段可以 $O(1)$ 算。

428. loj3636 「2021 集训队互测」机器

直接费用流对偶，发现形式很好看。

大概是要求一个 $\sum f(x_i)$，然后 $x_u \leq x_v$ 之类的。盲猜他能套上保序回归之类的东西，那就做完了。证明不看了（我连保序回归的证明都没看，怎么会看这个呢 2333）。

429. loj3637 「2021 集训队互测」数列重排

430. arc135f Delete 1, 4, 7, ...

431. arc134e Modulo Nim

史。

大概是先通过神秘分析/打表，发现必败态长成同一个样子，并且有些小的状态是特例。并且很巧的是必败态的样子很好看，可以当场状压。然后暴力统计，做完了。

432. arc133d Range XOR

相当于 $s_{l-1} \oplus s_r = V$。枚举 $i$ 的后两位，发现 $s_i$ 是能算的。

容斥一下之后数位 dp 即可。

433. arc133e Cyclic Medians

大概可以发现很多情况是对称的，把和 A 有关的东西拉出来，发现每个模 gcd 相等的位置有性质。

434. arc133f Random Transition

看作 $n$ 个硬币，大概是把每一位的贡献搞出来，变成一个二元 GF。暴力化简 GF 的式子，最后得到若干个形态很好看的式子，提取一下，然后发现可以直接分治 NTT 之类的做。

推式子过程和 arc136f 似乎差不多，感觉不难，所以不管了。

435. arc132d Between Two Binary Strings

436. arc132f Takahashi The Strongest

把字母看作 1,2,3。构造串 $M(i,j)$，如果 $a_{i,d} = b_{j,d}$，$M(i,j)_d = a_{i,d}$。否则 $M(i,j) _d = 0$。定义 0 是 1,2,3 的子集，1,2,3 互不包含。

我们想要对每个串 $S$ 求出答案，等价于对串 $T$ 求出所有 $(i,j)$ 的个数，满足 $T$ 和 $M(i,j)$ 至少一位相同，其中 $T$ 是每把都被 $S$ 击败的字符串。

设 $cnt_S$ 表示 $\sum\limits _{i,j} [M(i,j) = S]$。发现变换矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \\ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \\ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \\ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

那逆矩阵就是

$$\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \\ -1 \ 1 \ 0 \ 0 \\ -1 \ 0 \ 1 \ 0 \\ -1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

直接高维前缀和即可。

求出 $cnt_S$ 之后再做一次高维前缀和即可得到答案。

437. arc131d AtArcher

显然箭的间隔一定是 $d$，所以 $[0,d)$ 的范围内一定有一枝箭。把这支箭从 $0$ 到 $d$ 移动，会有 $O(m)$ 个贡献变化时刻。暴力扫就行了。

438. arc131e Christmas Wreath

厉害题。不妨令所有 $(i,j)，i < j$ 的边权都为点 $j$ 的权值。这样每个三角形一定合法。问题转化为将 $[1,n-1]$ 分割成三个集合，使得每个集合的和相等。可以手摸出 $n = 6,7,9,10$ 的解，后面可以用 $n - 6$ 的方案递归构造。

439. arc131f ARC Stamp

考虑用问号把整个串塞满，那就把串用 ARC,AR,A,RC,C,R 贪心划分。每次一定是填满一整段。为了划分区域，要在相邻两个 ARC 中间塞一个 X。

之后就是 $f_{i,j,0/1,0/1}$ 表示自己这一位和下一位的选择状态。

440. arc130d Zigzag Tree

大概看看每个点是比旁边大还是比旁边小，然后就 $dp_{u,i,0/1}$ 就可以了。

441. arc130e Increasing Minimum

考虑按照 $v$ 把序列分段。

记 $f_i$ 表示 $i$ 恰为某段结尾的最小层数。$i$ 的前驱不超过 1 个。算答案时挑一个合法 $i$ 里 $f_i$ 最小的最靠后的 $i$ 即可。

442. arc130f Replace by Average

443. xsy5071 基

444. xsy5072 泥

445. arc129d -1+2-1

设 $x_i$ 是 $i$ 的操作次数。发现 $(x_{i} - x_{i-1}) - (x_{i+1} - x_i) = - a_i$ 之类的神奇东西。然后可以求出 $(x_i - x_{i-1})$。然后解出 $x_0$ 就行了。

446. arc129e Yet Another Minimization

典中典切糕题。不管了。

447. ctt2023 不知道哪个题

建出两个序列的括号树。操作相当于删掉一个点，然后它的儿子成为它的兄弟。

记 $mat_{u,v}$ 表示 $a$ 的点 $u$ 能否匹配 $b$ 的点 $v$。要么是 $mat_{son,v}$，要么是 $u$ 的每个儿子贪心匹配 $v$ 的每个儿子。

448. arc129f Let's Play Tag

先要搞清楚题解里那个奇怪式子是怎么来的。记第 $i$ 次调头时遇到的人的初始位置的绝对值为 $a_i$，抓到这个人的时间为 $t_i$。

在抓到 $i-1$ 时，第 $i-1$ 个人位置的绝对值是 $a_{i-1} + t_{i-1}$，第 $i$ 个人位置的绝对值是 $a_{i} + t_{i-1}$，所以 $t_i = t_{i-1} + (t_{i-1} + a_{i-1}) + (t_{i-1} + a_i) = 3t_{i-1} + a_{i-1} + a_{i}$，那就得到了题解里奇怪的贡献式子了。

得到式子之后就可以奇技淫巧算贡献了（？不管了。

449. arc128d Neq Neq

$f_i \leftarrow f_j ok(i,j)$，$ok(i,j)$ 是能不能把 $[i,j]$ 区间删成 $\{i,j\}$。

$j-i+1 \leq 3$ 的情况特判，其他情况下，$ok(i,j)$ 等价于 $[i,j]$ 里至少有三种数，并且没有连续两#个相同的数。

450. arc128e K Different Values

判无解是容易的。大概就是每一位挑能放或者一定要放的集合里最小的一个。

451. arc128f Game against Robot

orz lh！

考虑一个 $p$ 怎么搞！把序列按照 $p$ 从小到大排序，然后不断塞序列的前两个数进一个 set，然后把 set 里最大的数拿出来扔给 snuke。

01 分段，数一下扔出来的 0，发现相当于二维走路，右上右下 coef = 1，右 coef = 2。强制把 $y<0$ 的地方改到 $y = 0$，数这个的个数。发现就相当于没有这个限制，路径最低点的绝对值。然后可以用卡特兰数的方法数出方案，加起来是个奇异式子，瞎搞搞可以前缀和。

452. arc127d Sum of Min of Xor