#5 2023.11.21

379. The 2nd Universal Cup. Stage 9: Qinhuangdao

J

xwp 怎么还在知乎撒狗粮啊。草草草草。图图了 /dao。

C

求出最长的 $len$ 满足 $[l,l+len-1] = rev([r-len+1,r])$。记 $l + len = x$ 。大概就是找一个最大的 $z < y$ 满足 $[x,z]$ 是回文串。这个可以乱马拉车然后线段树二分。之后加上 $lcp(z + 1,r-len+1)$ 的贡献就行了。$r - len$ 那边同理。

H

厉害题。

L

orz zayin。

考虑逆排列，原排列上的子排列就对应逆排列的一个前缀，满足这个前缀的值域是满的。

发现交换逆排列上的值为 $x,y$ 的两个数（假设 $x$ 比 $y$ 先出现），就是在一些点把 $x$ 图图了换成 $y$。发现对于每个点，只有 $O(1)$ 对 $(x,y)$ 会产生贡献。

暴力统计，就做完了。

K

黑白染色，黑的按照左上斜和右上斜分别编号，每个编号对应一个格雷码，然后拼起来。

白的就是旁边的黑的 OR 再取反。

380. arc168d Maximize Update

设 $f_{l,r}$ 表示仅考虑被 $[l,r]$ 完全包含的区间的答案。考虑最后一个被选的区间覆盖了点 $k$。那就可以把所有包括 $k$ 的区间都图图了，贡献就是 $1 + f_{l,k-1} + f_{k+1,r}$

381. arc168e Subsegments with Large Sums

当场进行一个二分答案。设 $f(i)$ 表示选出 $i$ 个不交的 $sum \geq S$ 的区间，至少需要多少

382. arc168f Up-Down Queries

考虑维护数列 +1 的点集。每次对 $x$ 进行操作，就相当于扔两个 $x$ 进去，然后把集合里最小的点踢了。

然后能抽象成一个费用流模型（？？？？。有点太色了。

之后就暴力模拟费用流就行了。

383. arc142d Deterministic Placing

等价于把原树剖成单向链。满足链头不和链头相邻，链尾不和链尾相邻，链头链尾都不和另外的链的身相邻。

然后每个结点有 8 个状态，大力转移即可。

384. arc142e Pairing Wizards

可以写成 $a_x,a_y \geq min(b_x,b_y),max(a_x,a_y) \geq max(b_x,b_y)$。

大力切糕。

385. arc142f Paired Wizards

orz zyf

大概可以分成

• $(a,b) = (c,d)$
• $a = c,b \neq d$
• $a \neq c ,b = d$
• $(1,1),(2,2)$
• $(1,2),(2,1)$

转化一下，变成 $S - {cx + 1 \choose 2} - {cy + 1 \choose 2}$。然后第一种没救了，第二种和第三种一定取得是后缀，第四种取得也一定是后缀，第五种对 $S$ 的贡献相等。

所以枚举第五种对 $cx$ 的贡献，再枚举选了几个第四种，剩下的可以预处理出 max。

386. loj3695 「JOISC 2022 Day4」鱼 2

比较色的题。

考虑对于一个区间分别维护前缀和后缀信息。以前缀为例，如果这条鱼吃不到左端点，它就废了。否则，它一定能吃到一个前缀，并且前缀数量不会太多，只有 $\log V$ 个。看起来转移很色，有点困了懒得写了。

387. loj3488 「JOISC 2021 Day1」IOI 热病

枚举第一个点的方向，发现其他的点的方向是唯一的。

然后就使用类似 dijkstra 的方法更新，每次取出最小的点。和某个点交只有三种情况，分别是对撞，$x + y = k$ 或者 $x - y = k$，三种情况分别找出和这个点交最近的点。以 $x + y = k$ 为例，大概就是找出 $x+y = k$，$x$ 在某个范围内，$y$ 最大的点。可以用 set 简单处理。

388. loj3487 「JOISC 2021 Day1」特技飞行

这尼玛啥玩意啊草。

大概就是说，当场爬山。改进：每次交换操作是交换两条边，估价函数采用最小的几个角拼起来的奇怪函数。然后当场跑，然后就过了（？？？。受不了了。

389. loj3491 「JOISC 2021 Day2」道路建设

先把贡献转成经典的 $max(|x_1 - x_2|,|y_1 - y_2|)$。考虑先搞出第 $k$ 大的边权值是多少。二分答案，那就对于每个点，就对应一个二维数点。用滑动窗口 + BIT 即可。

然后输出是容易的。

有种厉害做法，是二分答案 $mid$ 的时候，把平面劈成 $mid \times mid$ 的块，查询的时候八连通暴力找。这样是 $O(n)$ 的，很厉害。厉害吗？不知道啊，真的厉害吗？但是看起来很厉害。

390. loj3490 「JOISC 2021 Day2」逃跑路线

如果路程大于等于两天，答案是容易的。

如果路程等于一天，对于每个点，先跑一遍 $T =0$ 的 $dijkstra$。同时，对于每条边，有一个被扬时间，对每个被扬时间 +1 也跑 $dijkstra$。这样会跑 $O(m)$ 次，总复杂度 $O(n ^ 5)$。

但是我们认为这样还不行！枚举每条边 $(u,v,w)$ 作为答案路径里顶到上界（即时间增加后第一条爆）的边，相当于从 $u$ 终止时间为 $C_{u,v} - w$ 跑一遍反着的 $dijkstra$，从 $v$ 起始时间为 $C_{u,v}$ 跑一遍正的。然后枚举可能的 $x,y$，答案就是 $disu_{x} + w + disv_y$，要求 $x$ 的出发时间 $\leq C_{u,v} - w - disu_x$。这样就是 $O(m n^2 polylog(n))$ 了。

391. arc141c Bracket and Permutation

392. arc141d Non-divisible Set

393. arc141e Sliding Edge on Torus

394. arc141f Well-defined Abbreviation

判定非常神仙。

对于一个 $S_i$，贪心地用其他 $S_j$ 乱删它。如果删完了，说明 $S_i$ 没用了。否则说明 $S_i$ 本身就是非法串。

然后判定条件是不存在 $S_i = A+B,S_j = B+C$，且 $A \neq C$。

证明：

• $A+B+C$ 是非法串。
• 归纳证明每个串的终止态唯一。考虑串 $T$ 删掉 $S_i$ 得到的子串 $T_i$，和删掉 $S_j$ 的得到的子串 $T_j$。若删掉的区间有交，则 $T_i = T_j$。否则这两个串的终止态等于 $T - S_i - S_j$ 的终止态。

然后就可以乱做了。先贪心删看会不会寄。然后就枚举 $B$ 作为后缀，塞进哈希表，再枚举 $B$ 作为前缀查一下就行了。