#3 2023.10.23

290. 2022 ICPC Shenyang Regional Contest

D

绷。

C

显然有用的区间只有 $2n$ 个，模拟即可。

I

对于 $a_i < b_i$ 的，发现先手可以抢排名 $\bmod 4$ 为 1 和 0 的。

对于 $a_i \geq b_i$ 的，是交替拿。

fun fact : 有人平衡树写挂了，+18。我不说是谁 /tx。

L

有用的状态不会太多，直接爆搜。

F

假设 ${m+1 \choose 2}$ 是偶数。

考虑如何做 $(1,m)$ 这个矩形。可以看做要构造几个序列 $v$，满足 $\sum v_i = m$ 且 $2 \sum {v_i+1 \choose 2} = {m+1 \choose 2}$。选大的贪心放即可。

A

对于一个区间 $[x,y]$ ，被选中的概率是 $p = {y-x \over len}$。对于两个不交的区间，贡献相当于 $p_a \times p_b \times |mid_a - mid_b|$。对于两个完全相等的区间，它的贡献是 $p_a \times p_b \times {len \over 3}$。所以手动把区间劈开即可。

fun fact : 会搞出类似 $[x,x]$ 的奇怪区间。正解是特判掉这种情况。有人不想特判，手动把 $[x,x]$ 修成了 $[x,x+\epsilon]$。精度爆了没草过去。

E

不是边双，等价于有割边。考虑枚举割边集合 $E$。相当于 $E$ 把图分成了若干个连通块，分别是 $a_1,..,a_k$，每个连通块内可以乱连，再搞定 $m$ 条边的限制，贡献为 $2^{-m + (k-1)}\prod 2^{a_i \choose 2}$。

缩完点之后背包转移即可。

H

什么板子题。。

建出 PAM，发现 $P,Q,P+Q$ 一定在一条链上。更进一步地，设 $P+Q = S$ 的最小周期是 $T$，则 $S$ 有 ${|S| \over |T|} -1$ 的贡献（大概是这样吧。

G

草怎么不会这个题。

考虑一个确定的 $a$。构造一棵树 $t3$ 包含 $t2$ 的所有边和点，并对于每个点 $u$，额外加上 $(u,u',dis1(u,a))$。答案就是 $b$ 到 $t3$ 上的最远点的距离。

考虑动态维护 $t3$ 的直径。用线段树维护 dfs 序在 $[l,r]$ 内的直径。把 $a$ 在 $t1$ 上移动，相当于 dfs 序上的区间加。注意到加一整个区间并不影响直径端点。做完了。

B

牛逼题。首先答案的上界是 $\sum min(2^{len},n-len+1)$。考虑如何取到这个上界。

记 $k$ 为 $2^k+k-1 \leq n$ 的最大的数。在模 $2^k$ 意义下，$i$ 向 $2i$ 和 $2i+1$ 连边。这个图有哈密尔顿路，记为 $path$。构造一个新的序列 $seq$，$seq_i = 2path_i + (path_{i+1} \bmod 2)$。容易发现 $seq$ 是模 $2^{k+1}$ 意义下的一个环。

在 $seq$ 的基础上，把模 $2^{k+1}$ 分成若干个环。具体地可以采取 $nxt_{seq_i} = nxt_{seq_{i+1}},nxt_i = nxt_{i \ XOR \ 2^k} \ XOR \ 1 ( i \notin seq)$ 构造。

然后不断合并环，造出一个 $size+k \geq n$ 的大环，就做完了。

J

好像会了。

大概就是说一次操作对应一个置换，所以把大矩形的行和列重新排列一下，就会变成很多个小矩形。小矩形拼成了一个大矩形，每个小矩形对应的横坐标是一个连续段，是原排列上的一个环，纵坐标同理。所以一次行操作就是把和这行有交的小矩形分别循环移位。

考虑一行小矩形。如果它们的宽是 1，则列操作对它们没有任何影响，行操作的贡献是每个小矩形的最小正周期的 lcm。然后就可以把这行删了。列同理。

所以剩下的全是长宽都 $\geq 2$ 的小矩形。

然后用题解里的 $L$ 形操作，可以在不影响其他小矩形的情况下，把当前小矩形变成每个可达状态。可达状态由是否有重复元素决定。若有重复元素，贡献是 ${n!m! \over {\prod cnt!}}$。若无重复元素，在不更改奇偶性的情况下，贡献是 ${n!m!\over 2 \prod cnt!}$。

所以大概的想法是先确定每个小矩形的奇偶性，再进行 $L$ 操作。长宽都是奇数的一定改不了。长宽有一个是奇数的，就把偶数置换环和 0 连边。长宽都是偶数就把行置换环和列置换环连边。最后的方案数是 $2^{生成森林的边数}$。

K

咋是几何。在看了。别急。来了来了。

首先显然选的一定是一个凸包（可能有共线）。

那考虑凸包不是一根棍的情况。预处理出 $ok_{i,j}$ 表示 $i$ 到 $j$ 的连线是否完全在多边形内部。枚举凸包最左下的点 $i$，把 $ok_{i,x} = 1$ 的点拿出来按照极角排序。设 $dp_{x}$ 表示当前凸包终点是 $x$ 的方案数。转移 $dp_y \leftarrow dp_x$ 当且仅当 $x$ 极角序小于 $y$ 且 $ok(x,y)$。注意要保证它不是个棍，所以再加一维 0/1。

再考虑凸包是一根棍，那就把极长的棍拿出来就随便做了。

感觉是个签到几何题啊，怎么过的人这么少（？。

M

wtf。

291. cf1253f Cheap Robot

对每个点求出到它最近的充电桩 $p_i$ 和 $dis_i$。对于每条边 $(u,v,w)$，连接 $(p_u,p_v,dis_u + dis_v + w)$ 的边。kruskal 重构树即可。

292. cf625e Frog Fights

模拟题。用个堆记录创飞的时间，每次挑最小的即可。

293. cf1286e Fedya the Potter Strikes Back

实际上就是每个前缀的 border。考虑前缀 $i$ 的 border 的起始位置集合 $S_i$。发现 $S_{i+1}$ 是先把 $S_i$ 踢掉一些东西，再加一个 $i+1$。注意到踢掉的东西是 $i$ 的 fail 链上，$s_{j+1} \neq s_{i+1}$ 的。开 26 个并查集暴力踢就行了。

294. cf587f Duff is Mad

啥乱题。

考虑一个单次询问 $O(|S_k|)$ 的做法。相当于对 $k$ 的每个节点，问 $[l,r]$ 的终止结点在它的 fail 树祖先链上出现了几次。离线下来 dfs ，用 $O(\sqrt n) - O(1)$ 的单点加区间查分块可以做到 $O(q|S_k|)$。

再考虑对于一个串 $k$，解决关于 $k$ 的所有询问的 $O(n)$ 的做法：把 $S_k$ 所在的点设为 1，$q(i,i,k)$ 就是 $edpos_i$ 的子树和。

拼起来就过了。

295. cf896e Welcome home, Chtholly

如果整体做 1 操作，假设是减 $x$，值域为 $m$。容易得到两种做法。

第一种是按题意模拟，复杂度是 $O(m-x)$，可以让值域减少 $x$。

第二种是假装所有数都减了 $x$，然后把 $\leq x$ 的东西补回去，相当于平移数轴上的位置。复杂度是 $O(x)$，可以让值域变成 $max(m-x,x)$。

所以当 $m > {x \over 2}$ 的时候可以使用第二种，否则用第一种，相当于用 $x$ 的代价把值域减少了 $x$。

套个分块做完了。

296. cf1801e Gasoline prices

序列上的版本就是维护 $\log n$ 个并查集，第 $i$ 个并查集的第 $j$ 个点代表 $[j,j+2^i)$。只会被合并 $O(n \log n)$ 次，就做完了。上树就是把这个并查集搬到树上，没啥意思。可能需要维护一个反着的并查集。

297. The 2022 ICPC Asia Hong Kong Regional Contest

没打过 jiangly 和 larryzhong /ll。

H

绷。

fun fact : 有人英语不好理解不了题面，瞪了 5min 才结合样例理解这个题在干啥 /cy。

K

先排序和去重，答案一定 $\leq a_1$。

如果答案等于 $a_1$，要求是 $a_2 \geq 2 a_1$。

否则枚举 $a_1$ 有没有取模。取模的话是 $a_1 \bmod ([{a_1 \over 2}] + 1)$，不取模的话，其他数显然不会取模到 $< a_1$，所以就是把所有 $> 2 a_1$ 的数变成 $a_1$ 之后再取 gcd。

fun fact : 有人开场就写了这个题，然后 +3 /cy。

A

大概就是设 $f_u$ 表示 $u$ 子树的答案。转移就是 $f_u = 1+ max(secmax \ f_v,max \ f_v -1)$。

E

扫描线。枚举 $r$。扫到当前点如果有限制，相当于 $ban$ 掉一个区间的 $l$。

F

数位长显然不会差 $>2$。暴力枚举。

L

显然小区间完全吊打大区间。考虑每次扔没被扔的集合里最大的那个。设 $len$ 表示它能接受的最大长度。然后找一个长度 $\leq len$ 的最长区间扔了就行了。

B

注意到黑的只有一个连通块，那就只数白的连通块个数。白的有一个大的连通块。对于其他的白连通块，一定不存在右下的锯齿状物。所以枚举作为白连通块右下角的点，贡献就是这行这列不能删它，下一行下一列把它封住的概率。

C

令 $n < m$。特判掉两个奇数和 $2^n < m$ 的情况。我的做法比较鬼畜，令 $d = min(60,n)$，嗯随 $[{m \over 2}]$ 个 $[0,2^d)$ 的数，构成序列 $a$，满足 $a_i,a_i \ XOR \ (2^d - 1)$ 都互不相同。把 $a_i$ 塞进每列，$[d,n)$ 继续嗯随。然后把这些东西复制一遍再每位异或 1。如果 $m$ 是奇数就再塞一条 00001111。多随几次就过了（。

D

答案相当于 $(a,b)$ 点积 $(white,black)$，所以只有凸包上的点有用。暴力合并凸包，查询的时候三分。现场没人过 /jy。

J

相当于计算 $\sum_{i=0}^{n-1} max(\sum_{j=0}^{n-1} (i \oplus j)，i \times n)$。

注意到里面这个东西等于 $\sum_{bit} 2^{bit} (bit \in i ? n - c_{bit} : c_{bit}) = i \times n - \sum_{bit}2^{bit}c_{bit} (bit \in i ? -1 : 1)$。其中 $c_{bit}$ 表示 $[0,n-1]$ 里 $bit$ 位是 1 的个数。所以上面那个 $max$ 只取决于后面这坨东西的正负性。

然后发现后面这坨东西的正负连续段不会太多（？？？），大概只有 $\log$ 个，就暴力分治 $solve(l,r)$，每次找出 $[l,r]$ 区间的后面这坨东西的最小值和最大值，如果正负性相等就直接算。

I

做法满天飞的一个题。似乎这个题的各种解法都依赖于求出若干对关键点，然后扫描线求答案。因为关键点对远大于查询，所以扫描线的时候用分块。

题解的做法是把平面分 $\log V$ 次块，第 $k$ 次分块的边长是 $2^{k}$。目标是求出距离在 $[2^{k-1},2^{k})$ 里的关键点对。加入点的时候暴力扫周围的 3*3 的块更新答案。如果找到了一个 $j < i$ 满足 $dis(i,j) < 2^{k-1}$，就把下标 $< j$ 的点全扬了。这样能保证每个块只有 $O(1)$ 个点。

还有一种正解的做法也是把平面分 $\log V$ 次块，第 $k$ 次分块的边长是 $2^{k}$。然后把每对相邻的块按照下标排序，枚举相邻的 $O(1)$ 个点，这样也是对的。考虑每个可能优的点对，当它们在同一块或者相邻块的时候，它们两个中间不会有太多点。实际操作可以枚举 10 个点左右。

然后就是经典的乱搞做法：随机一个角度，然后排序，枚举原序列和排序后序列上的点硬草。感觉很伟大！

G

你妈，看了一天没看懂。傻逼。

298. LG9747 「KDOI-06-S」签到题

发现最后的数一定是整个区间的 OR。再发现一个区间合法，当且仅当存在一个数是区间 OR，并且存在一个和这个数不交的区间 OR 起来是 OR。

枚举每个数作为区间的 OR，二分出 L,R 是会让 OR 变化的端点。再二分出 $l,r$ 满足 $OR \ [l,i) = a_i$ 且 $OR\ (i,R) = a_i$。这样的 $[l,r]$ 就是机场区间。然后扫描线即可。

299. arc147d Sets Scores

考虑一个变化序列 $x_i$。记 $p_i$ 是当 $i$ 在 $S_1$ 中，序列变化量是 $x$ 时，$i$ 在 $n$ 个集合里的出现次数。再枚举 $S_1$。答案就是 $\sum_x \sum_{S_1} ((\prod_{i \in S_1} p_i)(\prod_{i \notin S_i} (n - p_i))) = \sum_x n^m = m^{n-1} n^m$。

300. arc147e Examination

忽略次数限制，判定一个序列能否合法。相当于把 $v_{a_i}$ 加一，$v_{b_i}$ 减一，然后任意后缀和都要 $\geq 0$。

先把一定要换的东西拉出来，考虑加进一个 $a_i > b_i$ 的数，相当于把 $(b_i,a_i]$ 这段区间加一。所以从后往前扫，如果遇到前缀和是负数，就挑 $b_i$ 最小的区间放。

301. arc147f Again ABC String

考虑把题目抽象成为有三个人在一个长度为 $x + y + z+ 3$ 的环上走，分别位于坐标 $0,x+1,x+y+2$。每次可以选一个人往前走 1，要求不能有两人重合的方案数。

设 $f(a,b,c)$ 表示三对人分别至少重合 $a,b,c$ 次的方案数。注意到如果 $a + b + c \geq 2$ ，则 $f(a,b,c) \bmod 2 = 0$。原因是当它们第一次重合后，对下一个状态会产生 2 的贡献。

所以只需要计算 $f(0,0,0) - f(1,0,0) - f(0,1,0) -f(0,0,1)$。$f(0,0,0) = 3^n = 1$。

以 $f(1,0,0)$ 为例，相当于第一个人的步数减去第二个人的步数在模 $x+y+z+3$ 意义下为 $x+1$。答案就是 $[t^{x+1}] ((t + 1 + {1 \over t})^n \bmod (t^{x+y+z+3} -1))$。每一轮可以让步数差加减 1 或者不变。而如果一个情况里，第一个人和第二个人第一次相遇后，如果一直动第三个人，在答案式子里的贡献就是 1。否则如果动了第一个人和第二个人，假设它们最后距离差为 $d$，那么有 +d 和 -d 两种方案，贡献为 0。

现在问题变成了如何计算 $[x^n] (x + 1 + {1 \over x})^m \bmod (x^v -1) = [x^{m+n \bmod v}](x^2 + x + 1)^m \bmod (x^v -1 )$。注意到 $(x^2 + x + 1)^{2^i} = (x^{2^{i+1}} + x^{2^i} + 1)$。使用根号分治，如果 $v$ 不大就暴力转移。否则变成计算 $[x^{m + n \bmod v}](x^2 + x + 1 )^m \bmod (x_v-1)$，枚举 $k \bmod v = m+n$，计算 $[x^k](x^2 + x + 1)^m$，这个可以简单用数位 dp 求出。

302. gym104369e New but Nostalgic Problem

先建个 trie，对于点 $u$，计算 $lcp \leq u$ 的最大集合大小。发现严格小于等 $u$ 的串可以随便选，大于 $u$ 的每个 trie 结点至多有 1 个串经过。dfs 就行了。摇奖手速也太快了吧，吓人。

303. gym104369f Traveling in Cells

$k$ 个线段树一起线段树二分就行了。怎么花老师还写这种题啊。

304. gym104369m Computational Geometry

假装下标是模 $n$ 意义下的。枚举劈开的两个点 $i,j$，如果把一边劈成棍子了肯定不行，否则就是两个区间内两两 dis 的最大值。随便更新。摇奖手速也太快了吧，吓人。

305. gym104369j X Equals Y

先讲讲我的垃圾做法。相当于构造一个序列 $z_0,..,z_{len-1}$，满足 $z_i < min(a,b),\sum z_i a^i = n,\sum z_i b^i = m$。

首先搞定 $len=1$ 的情况。然后是 $len \geq 3$，可以暴力枚举 $a,b$ 塞进哈希表里。

然后是 $len = 2$。限制转化为 $z_1 a + z_0 = x,z_1 b + z_0 = y,len=2,z_0 < min(a,b)$。先把能让序列长度为 2 的 $a,b$ 区间求出来。枚举 $z_1$，可以得到 $a -b = {x - y \over z_1}$。把 $a$ 的区间和 $b$ 的区间取个交，此时条件变成了 $x \bmod a < a - {x - y \over z_1}$。用扩展欧几里得算即可。

似乎题解更高妙。把 $a$ 范围写出来之后就不用 check 了。我是傻逼。

306. gym104369h Canvas

显然 11 没用。那不妨考虑对于一个点 $u$，连边 $u_2 \rightarrow u_1$。对于 $x_i = 1$，连接 $l_1 \rightarrow i$，否则连接 $i \rightarrow l_2$。然后缩点，每个入度为 0 的块选一个点变成 1 即可。

307. gym104369g Swapping Operation

考虑把会让前缀和后缀 and 变化的点称为关键点！

枚举分界点 k。如果交换的两个点和两边的关键点不交就屁用没有了！那就枚举交换的是哪两个关键点，或者是哪个关键点，最后可以写成 $\max f(1,i-1) \& f(i+1,k) \& a_j,j < k,j \notin keypoint$。发现前面两个的个数不多，就暴力枚举！

308. gym104369l Classic Problem

进行一个 B 姓算法的猛日。做完了。

309. cf722f Cyclic Cipher

身败名裂题。

考虑一个区间两两有解就一定有解。区间内两两有解判定是容易的。套个双指针即可。

310. cf513f2 Scaygerboss

二分答案之后建个图，能到的连边，跑个最大匹配即可。

311. cf1119f Niyaz and Small Degrees

身败名裂 $\times 2$。

大概是对于一个 $k$ 有一个显然的 dp，大概是一个点选儿子里前 $k$ 个最小的。注意到当 $k$ 增大，只有 $deg \geq k$ 的点会受影响。

312. cf1553I Stairs

怎么这玩意 3400 啊。

显然连续段是极长的。每两个极长的连续段之间有一个 $> 1$ 的 $gap$。

搞出 $gap$ 集合 $S$，设 $S$ 会把数列分割成 $s_1,s_2,...,s_n$，答案就是 $\sum_{T \sub S} (-1)^{|S| - |T|} 2^{\sum t_i > 1} (|T|+1)!$。分治算即可。

313. xsy5264 冬眠

发现每个不合法三角形存在两条 1 边。尝试数每条 1 边一共在多少个三角形里出现过。发现只跟 $n$ 的奇偶性，1 边两个端点的奇偶性有关。答辩分类讨论题。注意判断一下等边。

314. xsy5265 假期

大力猜想答案是个团。就搞个最大团就行了。

315. xsy5266 刚刚结束

把每个点 XOR HASH，满足每个颜色 XOR 和为 0。发现更改一个点相当于若干子树 XOR。查点容易。

就变成了带时间顺序的矩形 XOR，矩形 XOR 和。注意到修改矩形是 $1 \times n$，查询矩形是 $n \times 1$ 的，所以直接离线 cdq 扫描线。

316. uoj821 【UR #26】石子合并

考虑合并两个序列。把两个序列的非严格前缀最大值拎出来，变成很多很多个区间。发现就相当于这些区间归并，第一关键字是第一个元素的大小，第二关键字是左右。并且合并之后新序列的区间还是这些区间。

所以找出所有区间，对于第一个元素相等的区间有严格的顺序。考虑容斥掉长度的限制，每种区间是个插板，就做完了。

317. uoj823 【UR #26】铁轨回收

我是全场一血！！！！!!!!!111111

困了不想写题解了，可以去看官方题解或者直接咨询 zak 本人或者咨询我。

318. arc146d >=<

转成两个限制，分别是

• 如果 $a_p \geq x$，则 $a_q \geq x$
• 如果 $a_p \geq x+1$，则 $a_q \geq x+1$

反向也一样。

然后扔进队列里，所有的限制都满足。

319. arc146e Simple Speed

从小到大 dp 连续段。设 $f_{i,j,0/1/2}$ 表示前 $i$ 种数，有 $j$ 个连续段，左右两边有几 0/1/2 个是 $i$。随便转移。