#2 2023.10.14

用 .xlsx 来记真是太傻逼了。换个 .md 来记。

256. xsy5244 数数 (calc)

打个表嬴麻了。

257. xsy5255 树树（tree）

长剖推推推，差分一下过了。

258. xsy5256 数树（graph）

按照值域分块，每个块记最前最后两个点。过了。

259. pjudge21792 【NOIP Round #6】抉择

不会做。考虑乱搞！

设 $f_{i,v}$ 表示前 $i$ 个数，最后一个选的数是 $v$ 的权值。记 $mx = max(f_{i,v})$，发现对于 $f_{i,v} + v \leq mx$ 的 $v$ 其实可以直接扔掉。写了这个玩意，跑得飞快。

然后 fst 了（草）。发现是忘记判 $v \& a_i = 0$ 的转移了。无能狂怒。

260. pjudge21793 【NOIP Round #6】重生

每个任务拆成两种思考。当场二分答案。然后发现是贪心地思考能思考的东西里权值最大的。

261. pjudge21794 【NOIP Round #6】遍历

圆方树板子题。

262. pjudge21795 【NOIP Round #6】排序

考虑如何 sort 一个 01 序列。先把相邻的同色块合并。注意到一次操作之后倒过来看，相当于区间 reverse。0101010101 这个东西，按照 2|1|2|1|2|1... 分段，所以 01|0|10|1|01|0|1 -> 1000111001，每次连续段会除以 3。做完了。

263. arc167c MST on Line++

不会做！身败名裂。

考虑计算 $a_{i+1} - a_i$ 的贡献，就是选 $i$ 个 0，然后对于每个 0 之间的空位，长度 $\leq k$ 的话贡献减一。那就枚举 $(l,r)$，声称 $l,r$ 是 0，这一对的贡献就是 ${n - (r-l+1) \choose i-2}$。

264. arc167d Good Permutation

从小往大扫。考虑第 $i$ 个，找到最小的和它不在同一个环的点 $j$。如果 $j < p_i$，就 $swp(i,ip_j)$。否则如果第 $i$ 个所在的环有且仅有 $\{1,..,i\}$，也要 $swp(i,ip_j)$。

265. arc167e One Square in a Triangle

神仙构造。首先几个小的 $S$ 不合法判掉（？。

考虑 $S$ 是偶数的情况，取个以 ${S \over 2}$ 为底的三角形，这是容易的。

考虑 $S$ 是奇数的情况。令 $S = 2x + 1$。 则构造 $(-1,s-1),(0,0),(3,4-x)$，这个三角形。考虑合法的正方形 $(a,a+1) \times (b,b+1)$。$a = -1$ 显然无解。$a = 0$ 有个 $(0,0)$。注意到 $(1,{3 \over 2})$ 在三角形的边上，所以 $a =1 / 2$ 也无解。

266. lg9746 「KDOI-06-S」合并序列

记 $f_{l,r}$ 表示 $[l,r]$ 这个区间能不能缩成一个点。

$f_{l,r} \leftarrow f_{l,p1} * f_{u,v} * f_{p2,r} * [s(l,p1)\ XOR\ s(u,v)\ XOR\ s(p2,r) == 0]$。

设 $g_{r,v}$ 表示最大的 $l'$，使得存在 $r' \leq r，f_{l',r'} =1,s(l',r') = v$。

对于固定的 $r$，枚举 $l,p1$。发现这相当于要找看 $[p1+1,r]$ 里能不能找到 $u,v,p2$。那记个 $h_{v}$ 表示最大的 $u$。每次算完 $f_{l,r}$ 之后顺便更新一下即可。

267. cf1868d Flower-like Pseudotree

想题的时候神志不清，当场暴毙。。

首先特判掉一些平凡的情况。比如是不是一个大环之类的。

扔掉所有叶子，然后假装环的长度是 2，把 deg 最大的两个点当作环点，变成两条链。发现如果链长度相等就做完了。链长度不相等考虑把多出来的那个点扔上去。发现扔不上去只有 $O(1)$ 种情况。大力分讨就行了。

268.cf1864g Magic Square

考虑如果有两行移动了且移动距离相等，并且有一列移动了，则一定不合法。交换行列同理。

对于每一行，如果有数操作完行不变，这一行的移动距离只能是列的变化量。如果没有数操作完行不变，说明每一列都移动了，和上面矛盾。

那就对于当前局面，发现会有若干个合法的行或列，并且行和列只能存在一种。同时有就非法了。那就把答案乘上 $cnt!$。合法行的定义是转完之后，每个元素的列到了目标位置。行和列只能存在一种的证明是容易的，考虑交点即可。

269. xsy5247 树数（greedy）

鉴定完毕，不太想写。

考虑操作 2 怎么做。

假装 $u$ 在 $x$ 子树里面。记 $f_u$ 表示 $u$ 和 $u$ 的所有轻子树里到 $u$ 的最小距离。枚举 $u$ 这条重链上的每个点 $v$，往里的答案就是 $min (f_v + dis(u,v)) = -dis(u,top_u) + min(f_v + dis(v,top_v))$。所以记 $g_u = f_u + dis(u,top_u)$，维护 $g$ 即可。往外的答案可以通过维护 $h_u = f_u - dis(u,top_u)$ 计算。维护 $h$ 即可。

$u$ 在外面的是容易的。发现操作 3 跟上面的讨论没啥区别。不管了。

考虑 $rev(1,u)$。每条重链 $rev$ 的是重链的一个前缀。非常好维护啊.jpeg。然后有 $O(\log)$ 的 $f$ 需要处理，非常好维护啊.jpeg。

270. cf1731f Function Sum

非常傻逼的一个题。直接枚举每个点，权值，左右两边的信息。是个多项式，随便插插就搞定了。

271. cf623d Birthday

有点意思。

设 $f(t)$ 是第 $t$ 时刻依然存活的概率。答案就是 $\sum _{i}^{+\infin} f(i)$。

注意到 $f(t) = 1 - \prod_i (1 - (1 -p_i)^{c_i})$，其中 $c_i$ 是这个人被抓的次数。发现每次选最优的人抓必然不劣。暴力模拟 $10^6$ 轮即可。

272. cf923d Perpetual Subtraction

把式子写出来，发现是线性变换的形式，大概是要把一个上三角矩阵对角化。上三角矩阵的特征值就等于对角线上的值。所以特征向量可以直接 $Av - \lambda Iv =0$ 大力求出来。然后你发现 $A = BCB^{-1}$ 的 $B$ 和 $B^{-1}$ 都非常好看，就做完了（？。

273. cf1427g One Billion Shades of Grey

感觉比较牛逼。

第一个思路是假装这东西是 $p = 1$ 的保序回归！所以还是可以整体二分。至于向 $[a,b]$ 取整的证明，感觉不是很会证，也懒得看题解了，假装它是对的！

第二个思路是假装上面向 $[a,b]$ 取整是对的。假装它是 01 序列，每个值都 01 一下就做完了。发现 $O(n)$ 次 $dinic$ 的图都差不多，所以可以暴力退流降一下复杂度。

274. 浅谈保序回归问题 高睿泉

我来写个阉割版的学习过程！

前面的若干东西咕了。

保序回归的定义：有一个 DAG（*），$u \rightarrow v$ 表示 $f_u \leq f_v$。对每个点有 $(y_i,w_i)。$要求最小化 $\sum\limits_{i=1}^n w_i |f_i - y_i |^p$，其中 $p \in [1,+\infin)$。

*：我也不太确定是不是一定要 DAG。感觉有些情况下不是 DAG 也能做（？）。有无懂哥指导一下。

$p=1$

称数列向 $[a,b]$ 取整，即小于 $a$ 的变成 $a$，大于 $b$ 的变成 $b$。记 $pos_p(S)$ 为满足 $\sum_{i \in S} w_i|y_i -k |^p$ 最小时的 $k$ 的取值。在 $p = 1$ 的情况下，$pos_p(S)$ 是一个区间。在 $p> 1$ 的情况下，$pos_p(S)$ 是一个点。

引理：我们声称，对于一个区间 $[a,b]$，如果不存在集合 $S$ 使 $pos_p(S) \sub [a,b]$，且存在原问题的答案序列 $f_i$ 满足均不在 $(a,b)$ 内，则 $f_i$ 向 $[a,b]$ 取整后等于令 $f_i \in [a,b]$ 的答案。证明可以使用若干调整和反证法！我不会证！我感性理解。

然后注意到，$p = 1$ 时，$(i,i+1)$ 总是满足上述条件。就可以快乐二分了！

$p > 1$

注意到，上述引理是成立的。但是要找个合适的区间。因为 $pos_p(S)$ 构成的数集是稀疏的，可以取常见的区间 $(mid,mid+\epsilon)$。此时分别计算 $f_i = mid$ 的权值和 $f_i = mid+ \epsilon$ 的权值。同除 $\epsilon$ 之后发现就是原函数在 $mid$ 处的导数。至于 $f_i \leq f_j$ 的条件可以看作 $i \geq mid \rightarrow j \geq mid$，可以最小权闭合子图实现。这样可以求得原问题的 实数 解。

$p> 1$ 的整数解

假装我们现在正在进行 $solve(l,r,vec)$。

当 $r-l > 1$ 的时候，我们可以用上述算法递归 $solve(l,mid,low)$ 和 $solve(mid,r,high)$。

当 $r-l = 0$ 是容易的。

当 $r-l = 1$ 时，不能使用上述算法！但是此时只有两种取值，所以也可以做一个最小权闭合子图，这样就做完了。

$p = \infin$

要求最小化 $\max_{i = 1}^n (w_i |y_i - f_i|)$，同样有 $f$ 的偏序关系。

可以当场二分答案，然后做个 $DAG$ 上 $dp$，是 $O(m \log v)$ 的。

后面的部分咕了。

275. loj #3301. 「联合省选 2020 A」魔法商店

我草来活了。

看一眼，发现价格最低的限制相当于以 $a$ 做基，然后对于 $v_i = v_{a_{p1}} \ xor ... \ xor \ v_{a_{pk}}$，连边 $p_j \rightarrow i$。价格最高同理。

那就是裸的 $p = 2$ 的保序回归。

276. cf1615h Reindeer Games

尼玛，这位更是重量级。

277. cf1854e Game Bundles

没猜错的话，大概是随若干个值很小的，和等于 30 的数。前面大力做背包。然后后面放 > 30 的数。

猜对了。

278. pjudge21739 【NOIP Round #5】青鱼和序列

把整个序列看作 01 序列，0 代表正的 $a_1,..,a_n$，1 代表反的。

发现要么全是 0，要么 0 和 1 数量相等。直接算就行了。

279. pjudge21740 【NOIP Round #5】青鱼和怪兽

大概暴力转移会成环。那就二分答案，设 $dp_{n,m} = x$，看最后自己能不能更新自己。

280. pjudge21741 【NOIP Round #5】青鱼和区间

草怎么没做出来。

设覆盖 $i$ 的集合是 $S_i$，问题转化成不能有 $S_i = S_j$。

考虑第一个没被选进区间的 ，找到一个最右的 $j$ 满足 $S_j = S_i$，把 $[i,j]$ 看作一个子区间。假装这样可以搞出 $t$ 个区间，贡献就是内部瞎选乘上 $dp_t$。

背包即可。

281. cf1838f Stuck Conveyor

假装我们已经找到了问题点的方向，那就可以很简单地 $\log n + 1$ 次操作找出它的位置。

用 $O(1)$ 次询问找到方向是容易的。可能会有点 corner case，不管了。

282. cf1781g Diverse Coloring

不会做呜呜呜呜呜呜呜呜。

声称除了四个点的菊花图，其余所有树的答案都是 $n \bmod 2$。

考虑构造。链和点数 $\leq 3$ 是容易的。否则以某个三度点为根，记 $d_u$ 表示 $u$ 子树内，另外一种颜色减去 $u$ 的颜色的个数。对于不是根的点，容易做到 $d_u \in [-1,2]$。

接下来暴力合并 $d_{rt}$，枚举 $d_{rt} \in [-4,5]$ 的每个可能的儿子的状态，发现把 $d_{rt}$ 卡进 $[-1,1]$ 是相对容易的。其中有一种情况需要反转一条链。不过不重要！那就做完了。

283. pjudge21622 【ExPR #1】守卫 2

可以看出，每个点的答案，就是以它为根，进行某种直链剖分，最后前 $k$ 长的链距离和。所以一个点的最优解是它的长链剖分。

考虑以直径的两端分别 dfs，最后答案取 max。钦定 $u$ 有一条链通向 $rt$。考虑 $u \rightarrow v$ 的变化，按照 $v$ 是否是 $u$ 的长儿子讨论，只会加入/删除 $O(1)$ 条链，所以做完了。

题解看起来只用 dfs 一次，看起来和我差不多，但不钦点 $u$ 有 $rt$ 的链。换根的时候讨论一下就行。

284. pjudge21620 【ExPR #1】下降

草怎么还是不会。

考虑描述下降的过程。发现是从后往前扫，记录一个 $vis$ 数组。扫到 $x$ 的时候，找到 $\leq x$ 的第一个 $vis_x =0$ 的位置 $y$，那么这个位置最终就会是 $y$。如果 $y \geq 1$，就把 $vis_y$ 复制成 $1$。

考虑如何 dp。设 $f_{i,j}$ 表示当前从后往前扫完 $i$，$vis$ 数组最底下的连续段长度恰好是 $j$ 的方案数。假装我们不区分每个数的第一次和第二次出现。设 $i$ 前面有 $rem$ 个非 0，$out$ 个 0。

扫到一个 0 的时候，$f_{i,j} \leftarrow (j-out) f_{i+1,j}$。因为不区分第一次和第二次出现，所以最后一段共有 $j$ 个空位，然后前面有 $out$ 个数已经填了。

扫到一个 1 的时候，考虑这个数是否会让 $j$ 变化。如果不变，就是随便扔到上面去，$f_{i,j} \leftarrow f_{i+1,j}$。否则枚举 $nj = j+1+k$，$f_{i,nj} \leftarrow {rem-j \choose k}coef_k (k+2) f_{i+1,j}$。$coef_i$ 是选 $i$ 个数，恰好填满 $i$ 个连续的格子的方案数。

285. pjudge21614 【PR #1】守卫

怎么又不会。自闭了。

只有最小生成树上的边有用。从大到小尝试删边，合法性用 flow 判断。然后就对了。困了不想写了。

286. cf1034d Intervals of Intervals

绷。二分，考虑求出 $\geq mid$ 的线段数。考虑用 set 维护线段。扫描线，一个线段 $i$ 覆盖旧的线段 $j$，意味着 $[j+1,i]$ 的贡献 += 线段长度。然后双指针即可。

287. cf1845e Boxes and Balls

傻逼题。0 看作 -1。发现前缀和的差至多是根号。暴力 dp 即可。

288. cf870f Paths

发现有且仅有 1 和 $> {n \over 2}$ 的质数不能被到达。

一步到达的大概是 $\sum i - \varphi(i)$。

两步能到达的是 $x = px' \rightarrow pq \rightarrow qy' = y$。枚举 $p$ 和 $q$ 计算即可。

三步一定能到达，因为 $x = px' \rightarrow 2p \rightarrow 2q\rightarrow qy' = y$。

代码懒得写了。

289. cf1083f The Fair Nut and Amusing Xor

什么答辩题。考虑令 $c_i = a_i \ XOR \ b_i,d_i = c_i \ XOR \ c_{i+1}$。发现一次操作就是 $d_i$ 和 $d_{i+k}$ 同时异或 $c$。那就模 $k$ 分段，相当于问有多少个点的前缀 $XOR$ 是 0。值域很小，分块瞎搞搞就做完了。