网络流专题

模拟赛被网络流打爆了。

题目来自于 pb 的网络流专题。

二分图

LG1402 酒店之王

左边房子右边菜，搞出最大流就行了。

LGU64949 棋盘覆盖

棋盘黑白染色，可选的方块连边，搞出最大流就行了。

LGU64970 車的放置

行列为点，格子为边。

LG1129 矩阵游戏

如果有完美匹配，就可以。否则不行。

LG1963 变换序列

每个点最多对应两个 T，所以这是一个二分图最大匹配。字典序最小，只需要从后往前匈牙利就行了。

UVA1194 Machine Schedule

把图建出来，是二分图最小点覆盖。

二分图最小点覆盖 == 二分图最大匹配。

LG6062 Muddy Fields G

见过的套路题。先假设每个木板只能覆盖 1x1 的方块。可以节省的木板个数等于相通的边界数量。注意横竖边界不能同时消除。跑个最小割就行了。麻痹的看错题了操。

那就每个木板顶到头是最优的。把木板看成点，沼泽看成边，冲个最大流就行了。

LG3355 骑士共存问题

这题面都暗示了要黑白染色。

黑白染色，不能一起的点连边。冲一个最大独立集。

LG2423 朋友圈

原图的团，相当于在补图上找一个独立集。

观察题目连边的方式，A 国是个二分图，B 国是两个团，中间连了一些边。

对于 subtask1，直接在原图补图上找一个最大独立集即可。

对于 subtask2，发现 A 国最多选两个人。直接枚举，你惊奇地发现 B 的补图是个二分图。然后在 B 国解决类似问题即可。

UVA1327 King's Quest

本题可以看作最大匹配可行边的例题。

考虑在一个二分图中，$(u,v)$ 是最大匹配可行边需要满足以下条件之一：

• 1，$(u,v)$ 是匹配边。
• 2，设原图中 $u$ 和 $y$ 匹配，$x$ 和 $v$ 匹配。$(u,v)$ 不是匹配边，且删去 $(u,v)$ 之后，存在一条 $x\rightarrow y$ 的增广路。

这种问题的解决办法是先求出一组完美匹配，然后匹配边反向，其余边正向。对于非匹配边，判断两端是否在一个连通块即可。因为 $u$ 有且仅有一条来自 $y$ 的入边，$x$ 也有且仅有一条来自 $v$ 的入边，所以存在 $x \rightarrow y$ 的增广路等价于存在 $v \rightarrow u$ 的路径。

本题中因为已经给出了一组完美匹配，直接 tarjan 就可以了。

LG2764 最小路径覆盖问题

拆点跑个最小割就行了。

LG2765 魔术球问题

首先考虑二分答案，计算当前球数量最少需要多少个柱子。

比较容易想到拆点二分图，符合条件的两个球之间连一条边，冲个最小割就行了。

最大流

LG2472 蜥蜴

把柱子拆成入点出点，中间连权值的边。直接冲个最大流就行了。

套路：点有权值的时候拆点，转化为边的权值。

LG2766 最长不下降子序列问题

第一问

乱搞。随便 dp。

第二问

把真正的贡献图搞出来，拆点。

有贡献边的连上，直接冲最大流。

第三问

把和 1，$n$ 相邻的边的流量搞成 INF，然后再冲个最大流。

LG2754 家园 / 星际转移问题

二分答案。（当然由于 dinic 的神秘性质，从小到大枚举时间然后在残量网络上跑更优）。

记 $(x,t)$ 表示 $t$ 时刻的 $x$ 点。飞船可以看作先让所有人下车，然后再看是否让所有人上车。

对于飞船某天的起点 $x$，终点 $y$，连 $(x,t) \rightarrow (y,t+1)$，容量是飞船大小。

连 $(x,t) \rightarrow (x,t+1)$，容量 INF，表示呆在星球上不动。

UVA1660 Cable TV Network

枚举两个可能不相邻的点对，计算它们不相邻的最小贡献。

注意到只能割点，相当于点的权值为 1，把点拆成入点和出点，建出原图。跑 $x \rightarrow y$ 的最大流就是这个点对的答案。

LG2774 方格取数问题

黑白染色，发现只有不同颜色的点会影响。

在原图上连边 INF，连边 $(S,black,w_{black}),(white,T,w_{white})$ 。

冲个最小割就行了。

LG2057 善意的投票

源点连想睡觉的人，不想睡觉的人连汇点。朋友之间连双向边。

图的意义：跑完最小割之后，图分成了两个集合。割开的边代表冲突。

LG2598 狼和羊的故事

源点连羊，狼连汇点。相邻两个方块之间连边。

还是考虑图的意义：狼在一个集合，羊在一个集合，割掉的边表示矛盾。

LG4126 最小割

先求出一个最大流。可行边一定满流，否则在某条增广路上有一个更优的割边。

可行边：残量网络中不存在 $x \rightarrow y$ 的路径 (tarjan)。

必须边：残量网络中存在 $S \rightarrow x,y \rightarrow T$ 的路径。

LG2046 海拔

对偶图

这篇博客比较详细。

当一个图 $G = \{V,E\}$ 可以在平面上画出，并且边的交点仅有端点时，称为平面图。

平面图所在的平面会被边分割成若干个面。

对偶图 $G = \{V,E\}$ 的点集是平面图的面。在相邻两个面之间有边，权值是这两个面间的边的权值。

对偶图在网络流中的应用

如果网络流图是一个平面图，那么在 $S$ 和 $T$ 之间连一条虚拟边。然后在这个虚拟图上建立对偶图。那么从 $S'$ 到 $T'$ 的最短路就是原网络流图的最小割。

本题

直接手建对偶图即可。

LG3749 寿司餐厅

感觉 $m=0$ 的时候显然可以冲个 dp，但是很奇怪题解都没提到这个。

把区间向子区间连边，然后每个食物向种类连边。冲一个最大权闭合子图就行了。

费用流

LG2045 方格取数加强版

把点拆成入点，出点。中间连 $(1,w),(INF,0)$ 的边，分别表示第一次走和随便乱走。相邻两个点之间连 $(INF,0)$ 表示可以到达。冲个 MCMF 就行了。

LG2053 修车

倒数第 $i$ 个修会搞出 $t_i \times i$ 的贡献。

知道自己倒数第几个被修就好做了。把工人 $i$ 拆成 $(i,j)$，表示倒数第 $j$ 个被修，然后随便连一连、匹配一下，就做完了。

LG2050 美食节

上面这玩意的数据加强版。

注意到每个师傅一定会用一个连续的区间，所以一边增广一边动态开点就行了。

LG2604 网络扩容

第一问直接最大流。

第二问在残量网络上瞎搞搞，原来有的边的费用为 0，再加一条 $(INF,w)$ 的边。

LG2153 晨跑

拆点直接冲 MCMF。

咕