cmd 博客乱学

指的是 多项式计数杂谈 ， 炫酷反演魔术 ，min-max容斥小记 和 单位根反演小记 。

主要学的是前面两个，后面两个是前面的子项。

本文中的例题，除了单独的链接，其他没有写代码，自己乱推的，不保证完全正确。

多项式计数杂谈

若干数学知识

不讲了。

生成函数引入

不讲了。

一些数列的轻量级推导

首先是一些基本的生成函数封闭形式要认识一下。

$$\left< 1,1,1,1,...\right> = {1 \over 1-x} \\ \sum_{n=0} c^n x^{in} = {1 \over 1 - cx^i}$$

还有几个用二项式瞎几把推的玩意。

斐波那契类问题

把一个生成函数用它自己的形式表示。注意边角项。

你会拆出来一个式子，以斐波那契为例。

$$F(x) = {x \over 1-x-x^2}$$

你发现下面这个方程有两个根，根据牛逼定理，你大力猜这玩意可以裂项。

然后你就设

$$F(x) = {a \over 1-x_1}+{b \over 1-x_2}$$

然后手动解个方程。

之后你可以用这两个东西直接搞出通项公式。

如果模意义下缺点东西的话，可以扩域。

特征方程

如果你觉得上面那个方法太烦，可以试试特征方程。

它用来解决

$$f_i = af_{i-1}+bf_{i-2}$$

一类的问题。

有更高维的形式，但是比较麻烦，不搞了。

你假装

$f$ 是一个公比为 $q$ 的等比数列。

然后你可以得到

$$q^2 = aq+b$$

你根据这个方程搞出 $q_1, \ q_2$ 。

然后

$$f_i = \phi_1q_1^i + \phi_2q_2^i$$

根据前两项的值解出 $\phi_1$ 和 $\phi _2$ 就行了。

证明：

你觉得我会？

构造幂级数的小技巧

平移和拉伸。

常系数齐次线性递推

其实就是手动把一些项补齐吧。

分式分解

这是什么鸡儿玩意。

卡特兰数

有通项公式

$$c_n = \sum_{i=0}^{n-1} c_ic_{n-i}$$

把两边的生成函数写出来

$$[x^n]C = [x^{n-1}]C^2 + [n=0] \\ C = xC^2 + 1 \\ C = {1 \pm {\sqrt{1- 4x}}\over 2x}$$

当 $x = 0$ 的时候，$C = 1$ 。如果上面取正号，会搞出非零数除以零，寄。

所以

$$C = {1 - \sqrt{1 - 4x} \over 2x}$$

如何搞成更优美的形式，需要广义二项式定理。

生成函数组合计数初步+多项式工业练习

组合对象

指满足某一性质的可数的对象。

笛卡尔积

称 $\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_1 \in A_1,a_2 \in A_2,...,a_n \in A_n\}$ 为 $A_1,A_2,...,A_n$ 的笛卡尔积。

其实就是每个集合选一个元素，组成的有序多元组的集合。

OGF

ordinary generating function.

两个 OGF 的乘法是经典的加法卷积。

$$\left<0,1,{1 \over 2},{1\over 3},...\right> = -\ln (1-x)$$

OGF 的加法代表不相交集合的并。

OGF 的乘法代表笛卡尔积

例题：

LG4451 整数的 lqp 拆分

CF438E The Child and Binary Tree

LG4389 付公主的背包

EGF

exponential generating function.

设有数列 $f_n$ ，其 EGF 为 $F(x) = \sum_{i=0} f_i {x^i \over i!}$。

就是在第 $i$ 项除了个 $i!$。

$$\left< 1,1,1,1,... \right > = e^x$$

两个 EGF 的乘法是二项加法卷积

$$(F*G)[k] = \sum_{i+j=k}{k \choose i}F[i]G[j]$$

证明：

$${(F*G)[k] \over k!} = \sum_{i+j = k} {F[i] \over i!}{G[j] \over j!}$$

得证。

常用的 EGF：

$$\left< 1,c,c^2,c^3,...\right> = e^{cx}\\ \left<1,a,a^{\underline2},a^{\underline3},... \right> = (1+x)^a$$

（有标号对象的）笛卡尔积

将两个集合拼起来时，要用组合数分配标号。

例题：

LG5219 无聊的水题 I LG5339 [TJOI2019] 唱、跳、rap和篮球

exp 的组合意义

$$e^{F(x)} = \sum_{i=0} {F(x)^i \over i!}$$

这个的意义是多次卷积拼接自己。

例题：

LG4841 城市规划 LG5162 WD 与积木

PGF

probabilistic generating function.

对于离散随机变量 $X$ ，约定 $X \in N$

其概率生成函数为

$$F(z) = \sum_{i=0}P(X=i)z^i$$

显然有 $F(1) = 1$。

这玩意可以求导与期望产生联系

$$E(X) = \sum_{i=0}P(X=i)i = F^{'}(1)$$

进一步扩展

$$E(X^{\underline k}) = F^{(k)}(1)$$

例题不会。

关于上面三种 GF 的例题：

51nod1514

设 $f_i$ 表示长度为 $i$ 的合法排列个数。

容斥一下，不满足条件等价于在中间劈开，左边的数形成一个排列。

注意右边如果随便的话，就会算重。所以要保证左边加右边的前缀不是一个排列。

枚举左边的长度，得到

$$f_n = n! - \sum_{i=1}^{n-1} i!f_{n-i}$$

移项

$$n! = \sum_{i=1}^{n} i! f_{n-i}$$

设 $g_i = i!$，大力整一发 OGF

$$G = 1 + GF \\ F = {G \over 1+G}$$

然后没了。

CTS2019 珍珠

LG5850 calc加强版

先把这玩意搞成无序的。

容易看出，答案是

$$[x^n] \prod _{i=1}^k (1+ix)$$

按照套路，两边取 $\ln$。

上面这玩意就变成了

$$\sum_{j=1} (\sum_{i=1}^k i^n) {(-1)^{j+1}x^j \over j}$$

然后你大力 EGF 搞出自然数幂和，就可以推倒了 /se 。

LG5860 Counting Trees

那必然是在 prufer 序列上搞事了。

答案相当于

$$[x^{-2}] \prod _{i=1}^n (1 + x^{v_i -2})$$

在通常情况下，右边这玩意不好直接 $\ln$。

对于 $v_i \leq 2$ 的，那就瞎几把特判一下，搞出一个 $F$。

对于 $v_i > 2$ 的，那就瞎几把 $\ln$，搞出一个 $G$。

然后把 $F$ 和 $G$ 卷起来就行了。

LOJ6503 Magic

把一种颜色分成 $j$ 段，就会产生 $a_i - j$ 个相邻。这样会有 ${a_i - 1\choose j-1}$ 种方法。

所以一种颜色的 EGF 就是

$$A_i = \sum_{n=1}^{a_i} {a_i - 1 \choose n-1}{x^n \over n!}$$

分治 NTT 把它们卷在一起。

那么硬点分成 $k$ 段，其他随便的方案数就是 $f_k = [x^k] \prod A_i$。

恰好 $k$ 个相邻要求分成 $n-k$ 段。

设 $g_i$ 表示恰好 $i$ 段的方案数。

有

$$g_i = \sum_{j=i} {j \choose i} f_j$$

二项式反演一下

$$f_i = \sum_{j=i}(-1)^{j-i}{j \choose i } g_j$$

然后无了。

LG6516 Quark and Graph

不出意外的话，这题会是模拟赛题。

到时候应该会有一个专门的题解。

CF923E Perpetual Subtraction

不会，有时间再补。

upd：nmd 这题被扔进模拟赛里了，不得不做。

写出式子之后就是一路爆推。

没意思。

关于二项式

拆开组合数

很 trivial ，不讲了

经典二项式定理

很 trivial，不讲了

加法递推公式

$${n \choose m} = {n-1 \choose m} + {n-1 \choose m-1}$$

这玩意可以优化组合数递推式，可以裂项，用于凑出系数。

推论和技巧：

$$\sum_{i=0}^n {r+i \choose i} = {r+n+1 \choose n}\\ \sum_{i=0}^n {i \choose m} = {n+1 \choose m+1}$$

上面两个都可以用从左到右 merge 的方法证明。

例题：

重返现世

ARC061F

第一步转化没想到。但是后面的自己推出来了。

首先你要把它转化成一个序列对吧。

我这边的计数方法和其他人的有点不一样。

那么在这个数列里，$A$ 会出现 $n-1$ 次，$B$ 出现不超过 $m-1$ 次，$C$ 出现不超过 $k-1$ 次。且最后一次出现的一定是 $A$。

那么大力枚举序列的长度。再枚举 $B$ 的出现次数。

$$\begin{aligned} Ans & = \sum_{len=n-1}^{n+m+k-1} 3^{n+m+k-len} \sum_{i} {len-1 \choose n-2} {len-n+1 \choose i} \\ & = \sum_{len-n-1}^{n+m+k-1} 3^{n+m+k-len} {len-1 \choose n-2} \sum_{i} {len-n+1 \choose i} \end{aligned}$$

像上面所说，此时的 $i$ 有限制。$i \leq m-1$ 且 $len-(n-1)-i \leq k-1$。

所以右边实际上是

$$\sum_{i=len-(n-1)-k+1}^{m-1} {len-n+1 \choose i}$$

那么我们记

$$f(l,r,a) = \sum_{i=l}^r {a \choose i}$$

那么我们就想 $f(l,r,a) \rightarrow f(l+1,r,a+1)$。

考虑做差

$$\begin{aligned} & \ \ \ \ \ f(l+1,r,a+1) - f(l,r,a) \\ & = (\sum_{i=l+1}^r {{a+1 \choose i} - {a \choose i}}) - {a \choose l} \\ & = (\sum_{i=l+1}^r {a \choose i-1}) - {a \choose l} \\ & = (\sum_{i=l}^r{a \choose i}) - {a \choose l} - {a \choose r} \\ & = f(l,r,a) - {a \choose l} - {a \choose r} \end{aligned}$$

然后你就可以愉快地递推了。

范德蒙德卷积

$${n+m \choose k} = \sum_{i=0}^k {n \choose i} {m \choose k-i}$$

组合意义挺显然的。

例题：

LG2791 幼儿园篮球题

感觉比较简单。写出最原始的式子之后就一路挺显然的。

有一个

$${m \choose i}{i \choose j} = {m \choose j}{m-j \choose i-j}$$

广义二项式系数，广义二项式定理

广义二项式系数

$${\alpha \choose i} = {\alpha ^{\underline i} \over i!}$$

其中 $\alpha$ 是实数。

广义二项式定理

$$(x+y)^{\alpha} = \sum_{i=0}^{\infin} {\alpha \choose i} x^i y^{\alpha -i}$$

一些衍生技巧

上指标反转

$${r \choose k} = (-1)^k {k-r-1 \choose k}$$

对于 ${2n \choose n}$ 型组合数：

先考虑把 ${n - {1 \over 2} \choose k}$ 写成一些组合数的乘积。

用加倍公式

$$x^{\underline k}(x-{1\over 2})^{\underline k} = {x^{\underline{2k}}\over 2^{2k}}$$

令 $x=k=n$ ，再同时除以 $n!^2$，可以得到

$${n -{1 \over 2} \choose n} = {{2n \choose n} \over 2^{2n}}$$

用上指标反转，得到

$${-{1 \over 2} \choose n} (-4)^n = {2n \choose n}$$

这时可以搞出

$$\sum_{i=0} {2i \choose i} x^i \\ = \sum_{i=0}{-{1 \over 2} \choose i}(-4x)^i$$

逆用广义二项式定理，搞出上面这玩意的封闭形式是

$$(1-4x)^{-{1 \over 2}}$$

下降幂和上升幂的二项式定理

限制 $n$ 是自然数

$$(x+y)^{\underline n} = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{\underline i} y^{\underline {n-i}} \\ (x+y)^{\overline n} = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{\overline i} y^{\overline {n-i}}$$

跟普通幂的没啥区别。

差分与前缀和

一个数列的一阶前缀和相当于卷上了一个 $1 \over 1-x$。

$n$ 阶前缀和就是卷了个 $1 \over {(1-x)}^n$。

差分就是卷 $(1-x)$，然后平移。

例题：

LG4458 链上二次求和

这个例题跟这个知识点有啥关系啊喂。

把这玩意搞出一个前缀和 $s_i$。

把前缀和 $s_i$ 再搞个前缀和 $ss_i$

$$\begin{aligned} ans &= \sum_{i=l}^r \sum_{j=i}^n s_j - s_{j-i} \\ & = \sum_{i=l}^r ss_n - ss_{i-1} - ss_{n-i} \end{aligned}$$

然后乱维护 $s$，$ss$ 就可以了。就变成一个 ds 问题了。

牛顿级数

不会。

生成函数与杨辉三角

把杨辉三角写成二元 GF

$$g_{n,m} = {n \choose m} \\ \begin{aligned} G(x,y) & = \sum_{i=0}\sum_{j=0}{i \choose j}x^i y^j \\ & = \sum_{i=0}x^i (y+1)^i \\ & = {1 \over 1-x-xy} \end{aligned}$$

在组合数特定方向求和的时候，可以用这玩意搞出 GF，然后直接从封闭形式搞出点好玩的东西。

其他特殊数

斯特林数

基本的东西不讲。

例题

CF932E Team Work

什么垃圾题。

LG4609 [FJOI2016] 建筑师

什么第一类 Stirling 数神仙题。

CF960G Bandit Blues

这 tm 不是跟上一题一样吗。

CF961G Partitions

第一眼：不会

第二眼：瞪出来一个式子，然后 NTT 同一列斯特林数就可以了哈哈哈。

核心是化简这样一个东西

$$\begin{aligned} & \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^n i{n-1 \choose i-1}{n-i \brace k-1} \end{aligned}$$

然后你直接拆斯特林数，直接推就行了。

CF715E Complete the Permutations

不会。mark 一下，以后补。

伯努利数

不会。不想学。

欧拉数

不会。不想学。

分拆数

不会。不想学。

（你怎么啥也不想学 /fn）。

后面的学个锤子。我爬了。