lxl ppt 学习笔记

学习 lxl 的 nb ppt。

不知道能不能看得下去。

动态分块

经典问题1

区间加，区间小于等于 x 个数。

直接分块，维护每个块的 tag，以及这个块排序之后的数组。

散块直接查，整块在块上二分。

Ynoi2017 由乃打扑克

区间加，区间第 $k$ 小。

其实就是上面这玩意套个二分。

注意可以把散块提前拼起来，变成一个假的块，查散块的时候在这上面二分，优化一下复杂度。

LG3863

扫描线扫序列，分块维护时间。

就变成了区间加，区间小于等于 $x$ 个数。

莫队

本质：$[l,r] \rightarrow [l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$

AHOI2013 作业

区间 $[l,r]$ 中值在 $[a,b]$ 内的不同数个数。

莫队，值域分块。$O(n \sqrt n)$。

Ynoi2016 这是我自己的发明

这题之前模拟赛出过。

首先换根是假的，你可以把一棵子树拆成不超过两段 dfs 序。

然后把它的贡献强行拆成一堆前缀。

BZOJ4241

感觉这题可以用回滚莫队做。

不是很懂值域分块的做法。

哦懂了。

本质不同的答案只有 $O(n)$ 种。

排序处理一下它们的大小关系。

然后记录一下这个状态加一会到哪个，减一会到哪个就行了。

然后用一个值域分块的东西 $O(1) -O(\sqrt n)$ 就行了。

LG3245

记录一个 $suf_i$。

$suf_i == suf_j(i < j)$ 表示 $suf_{j} \times 10^{j-i+1} \equiv suf_i (mod \ p)$。

特判 $p = 2 \ or \ 5$。

然后莫队就行了。

区间众数

经典题。

LG3604

考虑一个字符串能排成回文串，要么字母出现次数全是偶数，要么出现次数只有一个奇数。

那么 $b_i = b_{i-1} \ xor \ (2^{a_i})$。

记一下 $b_r\ xor \ b_l = 2^u$ 的方案数就行。

$O(n \sqrt n c)$，$c = 26$。

经典题2

查询区间逆序对个数。

比较 trivial 的算法是莫队之后套一个树状数组。但是这玩意多个 log。

考虑莫队之后套一个值域分块。就能把 log 砍掉了。

莫队二次离线

考虑莫队的每次转移，一定是一个点到一个区间 $[l,r]$ 的答案；。

你把这个区间拆成两个前缀。

然后你做一个序列上的扫描线求出这几个询问的答案。

至于把答案 update 到莫队的过程，就比较 trivial 了。

树上莫队

有个东西叫欧拉序（括号序），大概就是一个点在进入的时候入序一次，在出去的时候入序一次。

在实现莫队的时候，维护一下这个点当前有没有在区间里。如果它没有在区间里，就把他加进去。如果它在区间里，就把它删除。

之后注意一条链的区间。

如果 $x$ 是 $y$ 的祖先，那么就是 $[in_x,in_y]$。

否则，设 $in_x< in_y$，区间就是 $[out_x,in_y]$。在这种情况下，要注意 $lca$ 的括号序是完全包含这个链的，无法被查到。所以你特殊处理一下 $lca$ 的贡献就行了。

SPOJ10707

上面树上莫队的板子题。

回滚莫队

如果插入操作容易实现，删除操作比较难搞，可以用回滚莫队。

它是用较多的插入来代替删除。

具体实现是把 $l$ 属于块 $x$ 的询问都放在一起，然后按照 $r$ 排序。

如果这个询问属于同一块，就暴力。

否则维护一个 $r$ 指针，暴力向右跑。

对于每个询问，强制把左端点拉到 $R_{x}$ ，然后往左加就行了。

经典问题3

查询区间 $l,r$ 内最小的 $a_i - a_j$。

比较暴力的算法是莫队+数据结构，要求支持查询前驱后继。（平衡树之类的）。

正解不是很懂。

正解会了。

一般的回滚莫队是插入比较容易，删除困难。

有一种数据结构叫链表。

所以这题删除比较容易，插入困难。

那么你就把回滚莫队的操作顺序 reverse 一下就行了。

LG5906

上面回滚莫队的板子。

JOISC2014D1T3

也是上面回滚莫队的板子。

BZOJ4358

这题我有一个口胡的算法。

维护一个值域。插入一个数，把相邻的两个区间 merge。

删除的时候，考虑把两个区间删除。

那么这样操作一次，产生的新答案的个数是 $O(1)$ 的。

直接上值域分块就行。

复杂度 $O(n \sqrt n)$，默认同阶。

LG5386

$O(n \sqrt n)$ 的高论是啥啊，不会啊。

考虑把值域 01 标号，回滚莫队。

然后每次 insert 的时候暴力线段树。

复杂度看起来是 $O(n \sqrt n \log n)$。

静态分块

在没有修改的情况下，认为静态分块是莫队的子集。

区间众数（LG5048）

太经典了，太 trivial 了。

经典问题4

强制在线，查询区间逆序对。

考虑逆序对的贡献，大力分类讨论。

类似于整块 $\rightarrow$ 整块，整块 $\rightarrow$ 散块，散块 $\rightarrow$ 整块，散块 $\rightarrow$ 散块之类的。

那么这些个子问题都比较容易。

经典问题5

询问 $[l,r]$ 内最小的 $|a_i - a_j|$。

还是像上面一样大力分类讨论。

根号分治

概念没啥好讲的。

经典问题6

给一个图，点权加，查询相邻点权和。

直接对度数根号分治就行了。

经典问题7

给一个序列，给出 $x,y$ 查询最小的 $|i-j|$ 使 $a_i == x,a_j ==y$。

那么对 $x$ 的出现次数根号分治。

次数多的就预处理。

次数少的直接归并。

SHOI2006 Homework

那么按照 $y$ 根号分治。

如果 $y \leq B$ ，每次就直接更新就行了。

如果 $y>B$，考虑 $x \% y = x-[{x \over y}] \times y$。

那么枚举 $x \over y$ ，直接值域分块就行了。

Ynoi2015 此时此刻的光辉

那么按照 $v^{1\over 3}$ 分治。

小的只有 168 个质数，直接前缀和就行了。

大的每个数不超过两个，当场莫队。

后面直接掉线了，有时间再补吧（咕）。