[题解]gdfzoj2145 奇怪的题目4

传送门

本场唯一一道自己想出的题

洗澡的时候 $YY$ 出正解

还有别问我为什么模数是这个

本人语文能力有限，喷轻点。。

可以说是本场最良心的题了，没有码量，部分分也很多

$24$ 分暴力： $n^2 DP$ 不讲

$48$ 分暴力：容斥 $O(k 2^k)$

想到这里的同学已经是史诗级大佬了

易得：答案 $=$ 总路径条数 $-$ 非法路径条数

考虑没有障碍的情况：没有非法路径，答案即为总路径数

考虑有一个障碍 $A$ ： 答案 = 总路径条数 $-$ 经过 $A$ 的路径条数

考虑有两个障碍 $A$ 和 $B$：

非法路径数 = 经过 $A$ 的路径数 $+$ 经过 $B$ 的路径数 $-$ 同时经过 $A$ 和 $B$ 的路径数

答案 = 总路径条数 $-$ 非法路径数

...... 以此类推

所以我们可以对障碍进行排序，再二进制枚举状态，容斥即可

因为模数是个质数，所以两点之间的路径数可以直接用组合数求出（然后用加乘原理瞎搞

需要注意的是有时同时经过多个点的状态不存在。这个点我在求组合数的时候顺便解决了

正解：

正解就是将求非法路径数的时间复杂度变为 $O(k^2)$

设 $path(x1,y1,x2,y2)$ 表示从 $(x1,y1)$ 走到 $(x2,y2)$ 的路径数 （不考虑障碍）

设 $g[i]$ 表示从第 $i$ 个陷阱，不经过其他任何陷阱，到达 $(n,m)$ 的路径数

$g[i] = path(x_i,x_j,n,m) -$ 经过其他陷阱的路径数

易得

$g[i] = path(x_i,x_j,n,m)$ $- \sum\limits_{j=i+1}^{n}{}$ $path(x_i,y_i,x_j,y_j)$ $\times$ $g[j]$ $\times$ $[y_j>=y_i]$

对于每一条非法路径，都至少经过一个障碍

我们枚举每个障碍， $path(0,0,x_i,y_i) \times g[i]$ 就为 经过的最后一个障碍为 $i$ 的路径个数

然后相加即为非法路径条数

代码(巨丑无比）

完结撒花