[HNOI2015]亚瑟王

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

solution

这题好难啊。。。。

要统计伤害的期望，肯定要转化为每个技能的伤害乘每个技能打出伤害的概率。

那么这个概率怎么算呢?

这时一个玄学的dp方程来了，我们设dp[i][j]表示前i张牌，打出了j张牌的概率。

如何转移？？

这个状态的优越性在于我们考虑第i张牌，有j张牌在前i张被打出了，所以有j轮是不用考虑i这张牌的，那么r-j轮一定是会考虑第i张牌的。

所以dp[i][j+1]+=dp[i-1][j]*(1-(r-j轮都不会出现的概率)，i不会被选上的概率为dp[i][j]+=dp[i-1][j]*(r-j轮都不选上的概率)。

接下来就是统计答案环节了，我们枚举前面有几张牌被选，那么就有r-j轮考虑了i这张牌，答案转移同上。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 230
#define M 150
using namespace std;
double f[N][M],pe[N][M],p[N],d[N],ans;
int n,r,t;
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&r);
        for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            pe[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=r;++j)pe[i][j]=pe[i][j-1]*(1.0-p[i]);
        }
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=0;j<=r;++j){
                f[i][j+1]+=f[i-1][j]*(1.0-pe[i][r-j]);//计算第i张牌在后r-j轮中出现的概率 
                f[i][j]+=f[i-1][j]*pe[i][r-j];//后面r-j轮中i都没有出现 
            }
        }
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            double sum=0; 
            for(int j=0;j<=r;++j)
              sum+=f[i-1][j]*(1.0-pe[i][r-j]);//这个转移是统计答案用的，原理同上 
            ans+=sum*d[i];
        }
        printf("%.10lf\n",ans); 
    }
    return 0;
}