【集训队作业2018】小Z的礼物

http://uoj.ac/problem/422

题解

要求最大值，所以考虑\(min-max\)

\[\max(S)=\sum_{T|S}\min(T)^{|T|+1} \]

那么一个集合的\(min\)如何求呢，我们一共有\(n*(m-1)+m*(n-1)\)个相邻的对，令该集合涉及到的相邻的对的个数为\(x\),那么期望的时间为\(\frac{n*(m-1)+m*(n-1)}{x}\)。

所以我们可以在轮廓线上\(dp\)，设\(dp[i][j][s][num]\)表示做到了\((i,j)\),当前状态为\(s\),有\(num\)个相邻对。

我们\(dp\)的内容是系数和，最后根据不同的\(num\)再乘上个系数就行了。

因为拐角的状态不用记，所以好写一些。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 7
#define M 103
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int n,m;
char a[N][M];
ll dp[2][1<<6][N*M*2],ans;
inline ll power(ll x,ll y){
	ll ans=1;
	while(y){
		if(y&1)ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
inline void MOD(ll &x){x=x>=mod?x-mod:x;}
inline ll ni(ll x){return power(x,mod-2);}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
    	scanf("%s",a[i]+1);
    }
    int sum=n*m*2-n-m;
    int now=1,pre=0;
    dp[now][0][0]=mod-1;
    int maxn=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j){
            swap(now,pre);
            memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
            for(int s=0;s<=maxn;++s)
            	for(int k=0;k<=sum;++k)if(dp[pre][s][k]){
            		int S=s&(maxn^(1<<(j-1)));
            		MOD(dp[now][S][k]+=dp[pre][s][k]);
            		if(a[j][i]=='*'){
            			S|=(1<<j-1);
            			int delta=(i!=1&&(s&(1<<j-1))==0)+(j!=1&&(s&(1<<j-2))==0)+(i<m)+(j<n);
            			MOD(dp[now][S][k+delta]+=mod-dp[pre][s][k]);
            		}
            	}
        }
    for(int i=1;i<=sum;++i){
      ll inv=power(i,mod-2);
      for(int s=0;s<=maxn;++s)MOD(ans+=dp[now][s][i]*inv%mod);
    }
    ans=ans*sum%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}