[BJOI2019]奥术神杖

https://www.luogu.org/problemnew/show/P5319

题解

首先观察我们要求的答案的形式:

\[\biggl(\prod V_i \biggr)^x\ \ \ x=\frac{1}{c} \]

这个东西貌似还不能最优化，根据套路论，把这个东西整体取个\(ln\)，于是就变成了：

\[ln\biggl(\biggl(\prod V_i \biggr)^x\biggr)=\frac{1}{x}\sum ln(V_i) \]

然后这个东西就可以分数规划了，验证的话跑个dp就好了。

有一点就是必须匹配至少一个串，题解好像在状态里加了一维0/1表示有没有匹配到一个串，我是偷懒直接加了个\(eps\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1509
using namespace std;
typedef long long ll;
const double eps=1e-5;
queue<int>q;
double dp[N][N],cnt[N],mx[N],w;
int tot,ch[N][10],f[N],n,m,tag1[N][N],tag2[N][N];
char s[N],s1[N];
inline ll rd(){
	ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f?-x:x;	
}
inline void ins(int len){
	int now=0;
	for(int i=1;i<=len;++i){
		if(!ch[now][s1[i]-'0'])ch[now][s1[i]-'0']=++tot;
		now=ch[now][s1[i]-'0'];
	}
	mx[now]+=w;cnt[now]++;
}
inline void build(){
	for(int i=0;i<10;++i)if(ch[0][i])q.push(ch[0][i]);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<10;++i){
			if(ch[u][i])f[ch[u][i]]=ch[f[u]][i],mx[ch[u][i]]+=mx[ch[f[u]][i]],
			  cnt[ch[u][i]]+=cnt[ch[f[u]][i]],q.push(ch[u][i]);
			else ch[u][i]=ch[f[u]][i];
		}
	}
}
inline bool check(double mid){
	memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][0]=0;
//	printf("%.2lf   ",mid);
	for(int i=1;i<=n;++i){
//		printf(" ");
		for(int j=0;j<=tot;++j){
			if(s[i]=='.')
			for(int k=0;k<10;++k){
				int x=ch[j][k];
				double xx=dp[i-1][j]+mx[x]-mid*cnt[x];
	//			printf("%.2lf ",xx);
				if(xx>dp[i][x]){
					dp[i][x]=xx;
					tag1[i][x]=k;tag2[i][x]=j;
				}
			}
			else{
				int x=ch[j][s[i]-'0'];
				double xx=dp[i-1][j]+mx[x]-mid*cnt[x];
				if(xx>dp[i][x]){
					dp[i][x]=xx;
					tag2[i][x]=j;
				}
			}
		}
	}
//	puts("");
	for(int j=0;j<=tot;++j)if(dp[n][j]>eps)return 1;
	return 0;
}
void dfs(int len,int now){
	if(!len)return;
	if(s[len]=='.')s[len]=tag1[len][now]+'0';
	dfs(len-1,tag2[len][now]);
//	cout<<now<<" ";printf("%.2lf  ",dp[len][now]);
}
int main(){
	n=rd();m=rd();
	double l=0,r=0;
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%s",s1+1);w=log((double)rd());
		r=max(r,w); 
		ins(strlen(s1+1));
	}
	r+=1000;
	build();	
	while(l+eps<r){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid;
	}
//	printf("%.2lf\n",l);
	check(l);
	for(int j=0;j<=tot;++j)if(dp[n][j]>eps){
		dfs(n,j);break;
	}
	printf("%s",s+1);
	return 0;
}