动态dp学习笔记

我们经常会遇到一些问题，是一些dp的模型，但是加上了什么待修改强制在线之类的，十分毒瘤，如果能有一个模式化的东西解决这类问题就会非常好。

给定一棵n个点的树，点带点权。

有m次操作，每次操作给定x,y，表示修改点x的权值为y。

你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小。

如果不带修改，那就是一个最简单是树形dp问题。

我们设一个dp[i][0],dp[i][1]表示以i为根的子树

动态dp能够使用的一个前提就是它的转移是线性的，这样我们就可以用矩阵乘法实现快速转移了。

注意：这里的矩阵乘法是广义的，中间运算不一定是乘法，最后也不一定是求和，只要能满足矩阵乘法的性质就可以了。

重链剖分

这也是动态dp比较关键的内容，因为问题在树上，树的每个节点都可能有多个儿子节点，直接算贡献比较麻烦。

所以用重链剖分只保留一个儿子，其他的儿子放在一起统一计算，这样我们就把一个树上问题转化成了序列上的问题。

比如这道题，我们把树轻重链划分完后。

我们把轻子树的答案算完后直接加入状态中，然后答案就变成了一条重链的矩阵连乘积，用线段树维护矩阵的乘积即可。

每次修改时，根据重链剖分，答案包含这个点的位置最多有log个，所以每次就对这些位置修改就好了 。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100002
using namespace std;
typedef long long ll;
int tot,head[N],size[N],deep[N],fa[N],son[N],top[N],dp[N][2],dfn[N],tag[N],ed[N],a[N],cntt,ls[N<<1],rs[N<<1],n,m,root; 
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
struct edge{int n,to;}e[N<<1];
inline void add(int u,int v){e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;}
struct matrix{
    int a[2][2];
    matrix(){memset(a,-0x3f,sizeof(a));}
    matrix operator *(const matrix &b)const{
        matrix c;
        for(int i=0;i<2;++i)
          for(int j=0;j<2;++j)
            for(int k=0;k<2;++k)
              c.a[i][j]=max(c.a[i][j],a[i][k]+b.a[k][j]);
        return c;
    }
}data[N],tr[N<<1];
void dfs1(int u){
    size[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa[u]){
        int v=e[i].to;deep[v]=deep[u]+1;fa[v]=u;
        dfs1(v);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>size[son[u]])son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u){
    dfn[u]=++dfn[0];tag[dfn[0]]=u;
    if(!top[u])top[u]=u;
    ed[top[u]]=max(ed[top[u]],dfn[u]);
    data[u].a[0][0]=data[u].a[0][1]=0;
    data[u].a[1][0]=a[u];
    dp[u][1]=a[u];
    if(son[u]){
      top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]);
      dp[u][0]+=max(dp[son[u]][0],dp[son[u]][1]);
      dp[u][1]+=dp[son[u]][0];
    }
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa[u]&&e[i].to!=son[u]){
       int v=e[i].to;dfs2(v);
       dp[u][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
       dp[u][1]+=dp[v][0];
       data[u].a[0][1]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
       data[u].a[0][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
       data[u].a[1][0]+=dp[v][0];
    }
}
void build(int &cnt,int l,int r){
    if(!cnt)cnt=++cntt;
    if(l==r){tr[cnt]=data[tag[l]];return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(ls[cnt],l,mid);build(rs[cnt],mid+1,r);
    tr[cnt]=tr[ls[cnt]]*tr[rs[cnt]];
} 
void upd(int cnt,int l,int r,int x){
    if(l==r){tr[cnt]=data[tag[x]];return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(mid>=x)upd(ls[cnt],l,mid,x);
    else upd(rs[cnt],mid+1,r,x);
    tr[cnt]=tr[ls[cnt]]*tr[rs[cnt]];
}
matrix query(int cnt,int l,int r,int L,int R){
    if(l>=L&&r<=R)return tr[cnt];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(mid>=L&&mid<R)return query(ls[cnt],l,mid,L,R)*query(rs[cnt],mid+1,r,L,R);
    else if(mid>=L)return query(ls[cnt],l,mid,L,R);
    else return query(rs[cnt],mid+1,r,L,R);
}
void _upd(int u,int vall){
    data[u].a[1][0]+=vall-a[u];
    a[u]=vall;
    matrix now,pre;
    while(u){
        pre=query(1,1,n,dfn[top[u]],ed[top[u]]);
        upd(1,1,n,dfn[u]);
        now=query(1,1,n,dfn[top[u]],ed[top[u]]);
        u=fa[top[u]];
        data[u].a[0][0]+=max(now.a[1][0],now.a[0][0])-max(pre.a[1][0],pre.a[0][0]);
        data[u].a[0][1]=data[u].a[0][0];
        data[u].a[1][0]+=now.a[0][0]-pre.a[0][0];
    }
}
int main(){
    n=rd();m=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd();
    int u,v;
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs1(1);dfs2(1); 
    build(root,1,n);
    while(m--){
        u=rd();v=rd();
        _upd(u,v);
        matrix nowans=query(1,1,n,dfn[1],ed[1]);
        printf("%d\n",max(nowans.a[0][1],max(nowans.a[0][0],nowans.a[1][0])));
    }
    return 0;
}