快速幂
标准幂
在编程中我们往往会遇到幂的运算，正常情况下许多初学者会用以下两者方式计算（ab）
1.使用for循坏进行幂运算
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
ll a, b, ans = 1;
cin >> a >> b;
for (int i = 1; i <= b; ++i) {
ans *= a;
}
cout << ans;
return 0;
}
2.直接调用pow()函数进行幂运算
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
ll a, b;
cin >> a >> b;
cout << pow(a , b);
return 0;
}
但实际情况下，在计算大数据的题目时，由于两者的时间复杂度都为O(n)，我们一般都是会T的（TLE，即运行超时），这时我们应当考虑快速幂了
快速幂
1.原理
我们先假设需要计算 211，这时我们可以将其分解为 2(8+2+1) = 28 * 22 * 21。这时它的时间复杂度就会大大缩减成O(log2n)
(1)幂次与二进制的关系
其中 21，22，24，28…… 的幂次都是2的倍数，所有幂2i都是倍乘关系，可以进行逐级递推
(2)幂次用二进制分解
学过二进制的都知道，11的二进制为1011，二进制换算成十进制时的展开式为 28 + 22 + 21，问题迎刃而解
(3)跳过没有的幂次
24 如何处理？只需做一个判断，这时候我们可以使用二进制的位运算实现，即
b & 1，取 b 的二进制的最后一位数，判断这一位是否需要跳过
b >>= 1，把 b 右移一位，此目的为把刚处理过的 b 的二进制的最后一位去掉
(4)代码实现
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
ll a, b, ans = 1;
cin >> a >> b;
while (b) {
if (b & 1) ans *= a;
a *= a;
b >>= 1;
}
cout << ans;
return 0;
}
当然，实际情况下幂运算结果往往是一个大数，题目一般会要求取模后在输出。不过不能对结果直接进行取模，因为结果可能早已超出 long long 的数据范围。我们需要用到取模的性质 ab % mod n = (a % n)b mod n，则代码可为
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int main() {
ll a, b, ans = 1, n = 1000000007;
cin >> a >> b;
a %= n;
while (b) {
if (b & 1) ans = (ans * a) % n;
a = (a * a) % n;
b >>= 1;
}
cout << ans;
return 0;
}
不过你要注意，写代码时应该要让主代码简便，所以我们需要把快速幂变为一个函数，使用时调用即可，以下为上述两种代码的函数
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll fastPow1(ll a, ll b) {
ll ans = 1;
while (b) {
if (b & 1) ans *= a;
a *= a;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll fastPow2(ll a, ll b, ll n) {
ll ans = 1;
a %= n;
while (b) {
if (b & 1) ans = (ans * a) %n;
a = (a * a) % n;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
ll a, b, n = 1000000007;
cin >> a >> b;
cout << fastPow1(a, b) << ' ' << fastPow2(a, b, n);
return 0;
}
(5)代码理解
以 a = 2，b = 11 为例
| b(原：11) | a(原：2) | ans(原：1) |
|---|---|---|
| 11 | 4 | 2 |
| 5 | 16 | 8 |
| 2 | 256 | 8 |
| 1 | 65536 | 2048 |
表格第一行：
- b = 11 时，即 while(11) 为true；
- 11 的二进制为 1011，1011 位于上 1，可得 1（即 1011 位于 0001），即 if(1) 为 true，ans *= a 执行，ans 为2；
- a *= a 执行，a = 4；
- b >= 1 执行，b = 5（二进制为 101）；
表格第二行：
- b = 5 时，即 while(5) 为true；
- 5 的二进制为 101，101 位于上 1，可得 1，即 if(1) 为 true，ans *= a 执行，ans 为8；
- a *= a 执行，a = 16；
- b >= 1 执行，b = 2（二进制为 10）；
表格第三行：
- b = 2 时，即 while(2) 为true；
- 2 的二进制为 10，10 位于上 1，可得 0，即 if(0) 为 false，ans *= a 不执行；
- a *= a 执行，a = 256；
- b >= 1 执行，b = 1（二进制为 1）；
表格第四行：
- b = 1 时，即 while(1) 为true；
- 1 的二进制为 1，1 位于上 1，可得 1，即 if(1) 为 false，ans *= a 执行，ans 为2048；
- a *= a 执行，a = 65536，不过已经没什么用了；
- b >= 1 执行，b = 0（二进制为 0），下次循坏 while(0) 为 false，程序结束；
由此可知，在处理没有的幂次时，直接跳过 ans *= a 这一条语句，直接执行 a *= a 这一语句，这样就能实现 a2 直接变为 a8 了
而 b >= 1 这一语句则能完美实现把处理过的位数删去，代码就这样水灵灵的出来了
(6)注意
- 如果遇到特别大的数（a 特别大，超出 long long 的范围），快速幂无法计算，只能用高精度了，当然没也可以用 Python，只要你不怕T；
- 快速幂使用任何求幂，除了特别大的数；
- 写代码时需要谨慎，用快速幂的函数替代 pow() 函数；
我只是分享了一下学习心得，共给大家查阅，如有不妥处，欢迎大家指正꒰ᐢ⸝⸝•༝•⸝⸝ᐢ꒱
