HDU 6333.Problem B. Harvest of Apples-组合数C(n,0)到C(n,m)求和-组合数学(逆元)+莫队 ((2018 Multi-University Training Contest 4 1002))

 

 2018 Multi-University Training Contest 4

 

6333.Problem B. Harvest of Apples

 

题意很好懂，就是组合数求和。

官方题解:

我来叨叨一些东西。

这题肯定不能一个一个遍历求和，这样就上天了。。。

解释一下官方题解的意思。

为什么 sum(n,m)=2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)。

因为c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m-1)，至于为什么成立，不懂的百度一下组合数和杨辉三角吧。。。

sum(n,m)=c(n,0)+c(n-1,1)+c(n-1,0)+c(n-1,2)+c(n-1,1)+...+c(n-1,m)+c(n-1,m-1)//因为c(n,0)=c(n-1,0)==1

　　　　 =c(n-1,0)+c(n-1,0)+c(n-1,1)+c(n-1,1)+c(n-1,2)+c(n-1,2)+...+c(n-1,m-1)+c(n-1,m-1)+c(n-1,m)

      　　  =2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)

OK，解释完了，然后怎么做呢？

通过上面推出来的公式，我们就可以在O(1)的复杂度里由推出。这个就可以用莫队写了。

关于莫队，具体的去看别人的博客，人家写的很好，我语文不好+懒，不想写。。。

 

要注意莫队的时候，while里的判断条件是当前指针对应的值与要求得的数的大小的关系，while(N<que[i].n) res=(2*res-C(N++,M)+mod)%mod;就假设，我当前的指针对应的值为sum(n-1,m)，我需要得到的结果为sum(n,m),当前的N为n-1，所以我需要用公式sum(n,m)=2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)，经过这个操作，N就变成n了(因为N++)。

大体就这些，其他的就是关于组合数求解的东西了，这些代码里注释了。

 

代码:

//1002-6333-组合数C(n,0)到C(n,m)求和-组合数学+莫队
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

int pos[maxn];
ll inv[maxn],f[maxn],ans[maxn];

struct node{
    int n,m,id;

    bool operator <(const node &a) const{
        if(pos[n]!=pos[a.n]) return n<a.n;
        return m<a.m;
    }

}que[maxn];
/*
关于逆元
费马小定理:对于a和素数p，a^(p-1)恒等于1。
逆元的定义:对于正整数a和m，如果有a*x恒等于1，那么把这个同余方程中x的最小正整数解叫做a模m的逆元。一般用欧几里得扩展来做：ax+by=1;称a和b互为逆元
a^(p−1)=a^(p−2)∗a,所以有a^(p−2)∗a%p≡1,对比逆元的定义可得，a^(p−2)是a的逆元
所以组合数预处理------>阶乘逆元,n!%mod/[(n-m)!%mod*m!%mod]，设n!%mod为A，(n-m)!%mod的逆元为B，m!%mod的逆元为C，所以组合数c(n,m)%mod=A*B%mod*C%mod,就酱~
*/
ll qpow(ll a,ll b)//快速幂a^b%mod
{
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)//预处理出来i!%mod,就是c(n,m)中n!%mod先预处理
        f[i]=(f[i-1]*i)%mod;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        inv[i]=qpow(f[i],mod-2);//inv中存的是逆元为a^(p-2)
}

ll C(int n,int m)//求C(n,m)
{
    if(n<0||m<0||m>n) return 0;
    if(m==0||m==n) return 1;
    return f[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;//就是A*B%mod*C%mod
}

ll res=1;

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int block=(int)sqrt(maxn);
    for(int i=1;i<=maxn-1;i++)
        pos[i]=(i-1)/block;
    for(int i=1;i<=T;i++){
        scanf("%d%d",&que[i].n,&que[i].m);
        que[i].id=i;
    }
    sort(que+1,que+1+T);
    int N=1,M=0;
    for(int i=1;i<=T;i++){
        while(N<que[i].n) res=(2*res-C(N++,M)+mod)%mod;
        while(N>que[i].n) res=((res+C(--N,M))*inv[2])%mod;
        while(M<que[i].m) res=(res+C(N,++M))%mod;
        while(M>que[i].m) res=(res-C(N,M--)+mod)%mod;
        ans[que[i].id]=res;
    }
    for(int i=1;i<=T;i++){
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}