HDU 6467.简单数学题-数学题 (“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛)

简单数学题

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 580    Accepted Submission(s): 257

Problem Description

已知

F(n)=∑i=1n(i×∑j=inCij)

求 F(n) mod 1000000007

 

 

Input

多组输入，每组输入占一行，包含一个整数n（1 <= n <= 1e18)。
数据不超过300000组。

 

 

Output

对于每组输入，输出一行，包括一个数代表答案。

 

 

Sample Input

5 100

 

 

Sample Output

129 660756544

 

 

Source

“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛

 

写的时候，推了好几次，每次都能优化一点点，最后发现就是一个公式。

优化过程代码中注释掉了。

 

推的过程中用到的一个公式

对于C(n,k)*k求和,k从1到n
n为常量,要求和的式子如下：
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
其中,C(n,k)的意义是组合数,n为下标,k为上标
最终结果为化简后的式子

C(n,k)*k
=k*n!/[(n-k)!k!]
=n*(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]
=n*C(n-1,k-1)
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
=n[C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+.+C(n-1,n-1)]
=n*2^(n-1)

 

代码:

//6467
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=1000000007;
//
//ll fac[maxn],inv[maxn];
//
//void init()
//{
//    fac[0]=fac[1]=1;
//    inv[0]=inv[1]=1;
//    for(ll i=2;i<maxn;i++)
//    {
//        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
//        inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
//    }
//    for(ll i=2;i<maxn;i++)
//        inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
//}
//ll C(ll x,ll y)
//{
//    if(y>x) return 0;
//    if(y==0||x==0) return 1;
//    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
//}

ll pow_mod(ll a,ll b){
     ll ans=1;
     while(b){
         if(b%2==1){
             ans=ans*a%mod;
         }
         a=a*a%mod;
         b=b/2;                              //这里是转化为二进制之后的进位---左进位
     }
     return ans;
 }

//ll a[maxn];

int main()
{
//    init();
//    for(int i=1;i<=1e3;i++){
////        for(int j=1;j<=i;j++){
////            a[i]=(a[i]+j*C(i,j)%mod)%mod;
////        }
//        a[i]=i*pow_mod(2,(i-1))%mod;
//        a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
//        //a[i]+=a[i-1];
//    }
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        ll ans=(((n-1)%mod)*pow_mod(2,n)+1)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}