末日游戏——杨辉三角+搜索

 

 P1118 [USACO06FEB]数字三角形Backward Digit Su…

题目描述

FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from 1 to N (1 <= N <= 10) in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example, one instance of the game (when N=4) might go like this:

    3   1   2   4
      4   3   6
        7   9
         16

Behind FJ's back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number N. Unfortunately, the game is a bit above FJ's mental arithmetic capabilities.

Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.

有这么一个游戏：

写出一个1～N的排列a[i]，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：

3 1 2 4

4 3 6

7 9 16 最后得到16这样一个数字。

现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a[i]，为1～N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。

[color=red]管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

而不是1，10，11，12，2，3，4，5，6，7，8，9[/color]

输入输出格式

输入格式：

 

两个正整数n，sum。

 

输出格式：

 

输出包括1行，为字典序最小的那个答案。

当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 16

输出样例#1： 复制

3 1 2 4

说明

对于40%的数据，n≤7；

对于80%的数据，n≤10；

对于100%的数据，n≤12，sum≤12345。

 下面的题解和代码均来自: Sweetlemon 大佬

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

首先要搞清楚这个数字三角形究竟是什么吧。大家可以自己在草稿纸上写一下，假设n为一个比较小的数(比如，按样例，4)，设第一行的n个数分别为a,b,c,...(我这里是a,b,c,d)，然后模拟加一下，就会发现sum是……

如果n为4，那么sum是a+3b+3c+d。

如果n为5，那么sum是a+4b+6c+4d+e。

如果n为6，那么sum是a+5b+10c+10d+5e+f。

观察各项的系数，你发现了什么？

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如果你有敏锐的数学眼光，你会发现，各项系数恰与杨辉三角有关！

那么我们就可以枚举每个a,b,c,...，逐一与sum比较，就可以得出答案了。

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首先，计算杨辉三角。

我使用的是这样一个公式(状态转移方程): 

上述公式可自行推导。我们还可以利用杨辉三角的对称性，只计算一半。

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然后，使用深度优先搜索。dfs可以按照字典序依次得出答案，因此我们不需进行判断。这里使用了一个全局数组变量来存储答案。

---

最后，如果有解，输出答案。这个比较简单，就略过了。

#include <stdio.h>
int n,sum;
int visited[13]={0}; //防止重复
int ans[13]; //放置答案
int pc[12];//构造所有i C n-1
int dfs(int,int,int); //写函数原型是好习惯！
int main(void){
    int i;
    scanf("%d%d",&n,&sum);
    //下面开始构造杨辉三角(即组合数表)
    pc[0]=pc[n-1]=1; //杨辉三角性质,两边都是1
    if (n>1)
        for (i=1;i*2<n;i++)
            pc[i]=pc[n-1-i]=(n-i)*pc[i-1]/i; //利用杨辉三角对称性和组合数公式计算
    if (dfs(0,-1,0)) //-1仅起占位符作用
        for (i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",ans[i]); //输出答案
    return 0;
}
int dfs(int i,int num,int v){ //参数说明:i表示正在搜索第i个数(从1开始),num表示第i个数是num,v表示前i个数的“和”为v
//返回值说明:返回0表示不行(不可能)，返回1表示找到了可行解
    int j; //循环变量
    if (v>sum) //已经超了!
        return 0; //不可能
    if (i==n) //枚举到了最后一个,判断一下是否是可行解
        if (v==sum){
            ans[i]=num; //放置解
            return 1;
        }
        else
            return 0;
    visited[num]=1;
    for (j=1;j<=n;j++){
        if (!visited[j] && dfs(i+1,j,v+pc[i]*j)){//v+pc[i]*j表示前(i+1)个数的“和”
            //已经找到了可行的解
            ans[i]=num;
            return 1;
        }
    }
    visited[num]=0;//一定记得复位
    return 0;//执行到这里一定是没有找到解
}