算法分析与设计C++ 总结(一)
递推与递归
递推
通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值
如果可以找到前后过程之间的数量关系(即递推式),那么,从问题出发逐步推到已知条件,此种方法叫逆推。
递归
从已知问题的结果出发,用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件,即顺推法的逆过程,称为递归
例题
依次输出一个数中的每一位数
例如,对于数12345,依次输出1 2 3 4 5
分析:
如果n/10==0,则
输出n;
否则
先对n/10进行相同处理
之后,cout<<n%10;*
#include<iostream>
using namespace std;
void Reverse(int n){
if(n<10){
cout << n << endl;
}else{
Reverse(n / 10);
cout << n % 10 << endl;
}
}
int main(){
Reverse(123456);
return 0;
}
分治
分治法的基本思想
- 分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同。
- 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
- 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
- 分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。
- 这条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然也可用分治法,但一般用动态规划较好。
分治策略的算法设计模式
Divide_and_Conquer(P){
if (|P|<=n0 ) return adhoc(P);
divide P into smaller substances P1,P2,…,Pk;
for (i=1; i<=k; k++)
yi=Divide-and-Conquer(Pi) //递归解决Pi
Return merge(y1,y2,…,yk) //合并子问题
}
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1],现要在这n个元素中找出一特定元素x。
适用分治法求解问题的基本特征:
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解;
分解出的各个子问题是相互独立的。
很显然此问题分解出的子问题相互独立,即在a[i]的前面或后面查找x是独立的子问题,因此满足分治法的第四个适用条件。
#include <iostream>
using namespace std;
int binarySearch(int a[], int x, int n)
{
// 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x
// 找到x时返回其在数组中的位置,否则返回-1
int left = 0;
int right = n - 1;
while (left <= right)
{
int middle = (left + right) / 2;
if (x == a[middle])
return middle;
if (x > a[middle])
left = middle + 1;
else
right = middle - 1;
}
return -1; // 未找到x
}
int main()
{
int a[10] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
cout<<binarySearch(a, 4, 10);
return 0;
}