算法分析与设计C++ 总结（四）

第3章 递归与分治策略

递归的概念

直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。

递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。

当边界条件不满足时，递归前进；

当边界条件满足时，递归返回。

注意：在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口，否则将无限进行下去（死锁）。

递归的缺点：

递归算法解题的运行效率较低。

在递归调用过程中，系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了堆栈来存储。递归次数过多容易造成堆栈溢出等。

分治法的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

第5章 贪心算法

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。

贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。

虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。

在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

贪心算法和动态规划算法的比较

这两种算法都是选择性算法，就是从一个候选集合中选择适当的元素加入解集合。

贪心算法的选择策略即贪心选择策略，通过对候选解按照一定的规则进行排序，然后就可以按照这个排好的顺序进行选择了，选择过程中仅需确定当前元素是否要选取，与后面的元素是什么没有关系。

动态规划的选择策略是试探性的，每一步要试探所有的可行解并将结果保存起来，最后通过回溯的方法确定最优解，其试探策略称为决策过程。

第6章 回溯算法

以深度优先的方式系统地搜索问题的解的方法称为回溯法。

可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解。

有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。

回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。

第7章 分支限界算法

分支限界法类似于回溯法，是一种在问题的解空间树上搜索问题解的算法。

分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。

分支限界法常以广度优先的方式搜索问题的解空间树。

在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点

活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

从 活结点表 中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法：

队列式 (FIFO) 分支限界法：按照队列先进先出（ FIFO ）原则选取下一个节点为扩展节点。

优先队列 式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
最大优先队列 ：使用最大堆，体现最大效益优先

最小优先队列 ：使用最小堆，体现最小费用优先

方法	回溯法	分支限界法
解空间树的搜索方式	深度优先搜索	广度优先或最小耗费优先搜索
存储结点的数据结构	搜索过程中动态产生问题的解空间	队列、优先队列
结点存储特性	只保存从根结点到当前扩展结点的路径	每个结点只有一次成为活结点的机会
应用范围	能够找出满足约束条件的所有解	找出满足约束条件的一个解或特定意义下的最优解