CF1163F Indecisive Taxi Fee
题意
给定一张无向图，每次询问为更改一条边的边权后，从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。
Solution
首先考虑有哪些情况。如果原图中 \(1\to n\) 的最短路为路径 \(P\)，其上第 \(i\) 个点为 \(P_i\)。
- 删去的边在 \(P\) 上，且边权变大；
- 删去的边在 \(P\) 上，且边权变小；
- 删去的边不在 \(P\) 上，且边权变大；
- 删去的边不在 \(P\) 上，且边权变小。
现在为了解决上面的情况，不难想到先求出 \(1\) 到任意点的最短路 \(dis_{1,x}\) 和 \(n\) 到任意点的最短路 \(dis_{x,n}\)。现在我们分情况解决上面的问题：
- 显然当前最优的仍然是路径 \(P\)；
- 显然当前最优的仍然是路径 \(P\)；
- 显然有可能代替 \(P\) 的路径是经过更改的边的，所以让原答案与 \(\min(dis_{1,u}+w+dis_{v,n},dis_{1,v}+w+dis_{u,n})\) 取 \(\min\) 即可。
现在最麻烦的部分就是在情况 \(1\)。
考虑对于情况 \(1\)，我们对路径的优化。不难想到，如果新的路径 \(P'\not ={P}\)，那么二者必然共享一段前缀和后缀。且中间跨越了那条变大的边。
Proof
考虑如果中间脱离路径 $P$ 多次，那么除了跨越修改边之外的跨越，都会劣于从 $P$ 上过，否则就不满足原图最短路的性质。所以最多跨越一次且中间跨越了修改边。
人类智慧！考虑对于不在 \(P\) 上的每条边，我们都可以找到经过这条边的最短路与 \(P\) 的公共前缀结束位置 \(L\) 和与 \(P\) 的公共后缀的开始位置 \(R\)。这个东西的求法，就是先求出路径 \(P\)，然后在跑从 \(1\) 开始的最短路的时候，更新 \(L\)，然后在从 \(n\) 开始跑最短路的时候更新 \(R\)。
那么知道了这个有什么用呢？继续人类智慧！我们把 \(P\) 拉出来摊成一条线段，建一棵线段树，然后对于路径外每一条边，可以在线段树上区间 \([L,R]\) 上打标记，然后此时线段树的意义就是，标记永久化之后，每个叶子节点的值就是不经过这条边的最短路的长度。
这就是我们想要的。考虑对于情况 \(1\)，我们实际上答案是在 原最短路加上边权的变化量 和 不过修改边的最短路 中取最小的那条。
细节：
- 把最短路展开之后，线段树下标要重编号，并且是对边重编号的。以靠近 \(1\) 的点为代表；
好像有双倍经验 P3238。
Code
// Problem: CF1163F Indecisive Taxi Fee
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF1163F
// Memory Limit: 3000 MB
// Time Limit: 500000 ms
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define siz(a) (int)a.size()
#define pb emplace_back
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define pt(a) cerr<<#a<<'='<<a<<' '
#define pts(a) cerr<<#a<<'='<<a<<'\n'
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
struct Tree{int l,r,inc;}tr[MAXN<<2];
#define ls i<<1
#define rs i<<1|1
void build(int i,int l,int r){
tr[i].l=l;tr[i].r=r;tr[i].inc=INF;
if(l==r) return;int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
}
void upd(int i,int l,int r,int v){
if(l>r) return;
if(tr[i].l==l&&tr[i].r==r){tr[i].inc=min(tr[i].inc,v);return;}
int mid=(tr[i].l+tr[i].r)>>1;
if(r<=mid) upd(ls,l,r,v);else if(l>mid) upd(rs,l,r,v);
else upd(ls,l,mid,v),upd(rs,mid+1,r,v);
}
int ask(int i,int x){
if(tr[i].l==tr[i].r) return tr[i].inc;
int mid=(tr[i].l+tr[i].r)>>1;
int ret=tr[i].inc;
if(x<=mid) ret=min(ret,ask(ls,x));
else ret=min(ret,ask(rs,x));
return ret;
}
struct Edge{int to,w,id;};
vector<Edge> e[MAXN];
int u[MAXN],v[MAXN],w[MAXN];
int dis1[MAXN],disn[MAXN],L[MAXN],R[MAXN];
int pre1[MAXN],pren[MAXN];
vector<int> suf1[MAXN],sufn[MAXN];
struct node{
int x,dis;
bool friend operator<(node a,node b){
return a.dis>b.dis;
}
};
priority_queue<node> q;
int num[MAXN],onp[MAXN];
void solve(){
int n,m,Q;cin>>n>>m>>Q;
rep(i,1,m){
cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
e[u[i]].pb(Edge{v[i],w[i],i});
e[v[i]].pb(Edge{u[i],w[i],i});
}
memset(dis1,0x3f,sizeof(dis1));
memset(disn,0x3f,sizeof(disn));
q.push(node{1,0});dis1[1]=0;
while(!q.empty()){
node now=q.top();q.pop();
if(dis1[now.x]<now.dis) continue;
for(auto s:e[now.x]){
node nxt=node{s.to,now.dis+s.w};
if(dis1[nxt.x]>nxt.dis){
pre1[nxt.x]=now.x;
dis1[nxt.x]=nxt.dis;
q.push(nxt);
}
}
}
q.push(node{n,0});disn[n]=0;
while(!q.empty()){
node now=q.top();q.pop();
if(disn[now.x]<now.dis) continue;
for(auto s:e[now.x]){
node nxt=node{s.to,now.dis+s.w};
if(disn[nxt.x]>nxt.dis){
pren[nxt.x]=now.x;
disn[nxt.x]=nxt.dis;
q.push(nxt);
}
}
}
rep(i,1,n){
if(pre1[i]) suf1[pre1[i]].pb(i);
if(pren[i]) sufn[pren[i]].pb(i);
}
queue<int> qL,qR;
vector<int> P;
for(int p=n;p!=1;p=pre1[p]){
P.pb(p),qL.push(p),qR.push(p),L[p]=p,R[p]=p;
for(auto s:e[pre1[p]])
if(s.to==p&&s.w==dis1[p]-dis1[pre1[p]]) onp[s.id]=1;
}
P.pb(1);qL.push(1);qR.push(1);L[1]=1;R[1]=1;
reverse(all(P));
while(!qL.empty()){
int x=qL.front();qL.pop();
for(int s:suf1[x]){
if(L[s]) continue;
L[s]=L[x];
qL.push(s);
}
}
while(!qR.empty()){
int x=qR.front();qR.pop();
for(int s:sufn[x]){
if(R[s]) continue;
R[s]=R[x];
qR.push(s);
}
}
rep(i,1,siz(P)) num[P[i-1]]=i;
build(1,1,siz(P));
rep(i,1,m){
if(onp[i]) continue;
int len=min(dis1[u[i]]+w[i]+disn[v[i]],disn[u[i]]+w[i]+dis1[v[i]]);
upd(1,num[L[u[i]]],num[pre1[R[v[i]]]],len);
upd(1,num[L[v[i]]],num[pre1[R[u[i]]]],len);
}
while(Q--){
int t,x;
cin>>t>>x;
if(!onp[t]){
if(x>=w[t]) cout<<dis1[n]<<'\n';
else{
cout<<min(dis1[n],min(dis1[u[t]]+x+disn[v[t]],dis1[v[t]]+x+disn[u[t]]))<<'\n';
}
}else{
if(x<=w[t]) cout<<dis1[n]-w[t]+x<<'\n';
else{
int PR;
if(pre1[u[t]]==v[t]) PR=v[t];
else PR=u[t];
cout<<min(dis1[n]-w[t]+x,ask(1,num[PR]))<<'\n';
}
}
}
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// int T;for(cin>>T;T--;)
solve();
return 0;
}
