二维数点技巧
这是一种比较常见的数据结构技巧，所以单独开一个坑。
概论
看上去很高端，实际上就是解决矩形求和的问题，有的时候还支持修改。
使用这种技巧有一个重要的前提：离线！
二维数点
首先这个技巧可以很好地解决二维数点问题。我们可以先来总结一下有哪些问题可以转化成二维数点问题，总的来说，如果一个序列上的问题可以转化成和它的上一个（可能是上一个颜色相同的位置等等）的差值（或者其它计算方式），我们可以把 \((i,pre_i)\) 看成一个点，这样区间查询相当于在某一个矩形中查询。注意这样的话，最终其实形成了一个右下三角，即直线 \(y=x\) 之上是没有值的，这样在矩形不好维护的时候，可以利用这个性质，扩展矩形从而使得它与某一条边界贴起来（为什么要这样等会说）。
还有一种形式是把行当成横坐标，列当成纵坐标，这样一个区间查询问题就变成了单点查询。当然修改就变成了矩形操作。
这样，我们只需要考虑二维数点问题。
静态
先从没有修改的开始。
这就能很好地转化成矩形加，全局求最大值。考虑把矩形加操作按行差分一下。然后维护一行的线段树，从上往下扫，遇到一行，就把当前行的影响算入，相当于边求前缀和边算答案。这东西和扫描线很像，我们就叫它 扫描线-plus 技巧吧。
当然这也可以解决静态数颜色问题，你只要把一个位置看成 \((i,pre_i)\)，其中 \(pre_i\) 表示与位置 \(i\) 颜色相同的上一个位置。这样的话，如果查询 \([l,r]\)，那么相当于我们要数有多少个点的 \(pre\) 在 \(l\) 前，即统计 \(x\in [l,r],y\in [0,l)\) 内点的个数。直接用上述套路用树状数组扫一遍就行了。
动态
这技巧的精神所在即是可以很好地维护动态问题。
比如区间数颜色的问题，你发现静态的时候，用莫队会更好写，而且常数小，跑起来差不多。
但是如果带上修改呢？
先看比较简单的版本：
这题可以把问题转化成，每一个位置和这个位置上颜色上一次出现位置的差之和。这样问题就变成了和 \(pre_i\) 有关的二维数点了。然后静态做的话是比较好做的，就直接算出每个点的 \(pre\)，然后在矩阵的对应位置加上其距离就行了。
现在来考虑动态的修改。每次修改一个位置，最多会影响到 \(3\) 个位置的 \(pre\)。我们把每次修改拆成 \(3\) 个。然后采用 cdq 分治，每次考虑左边的修改对右边询问的影响。然后做完当前询问之后直接撤销掉左边的修改，然后继续向上递归做就行了。
所以我们基本是采用 cdq 分治，来把动态问题静态化。
除了这种，更经典的还有区间数颜色的修改版本，也就是：
利用 ODT 可以算出每次区间覆盖的时候，哪些点的 \(pre\) 会改掉。并且类似于 ODT 的复杂度均摊分析，可以发现 \(pre\) 修改的个数不会超过 \(O(n+m)\) 级别。然后后面套一个上面的 cdq 加 扫描线-plus 来做就行了。
当然在 ODT 求修改 \(pre\) 点的时候有致死量的细节，可以考虑对每个颜色再维护一个 set 来存所有区间。每次修改先把可能会变的存下来，最后扫一遍再存入询问会更好做一点。
较为容易的，还有这题：
还是一样采用 ODT 压缩同色段的思想，和上面差不多，只不过这题可能是把行列号当成横纵坐标。
考虑插入一段颜色对答案的贡献。我们假设当前这段颜色是 \([l,r]\)，然后同色的上一整段是 \([l_1,r_1]\)，后一整段是 \([l_2,r_2]\)，这个可以像 ODT 一样用 set 维护。那么当前的贡献是在 \(L\in[r_1+1,r],R\in[l,l_2-1]\) 矩形上加上当前值。
这样就变成了矩形加单点求值。鉴于是动态问题，直接套一个 cdq 就做完了。
\(\color{red}{\texttt{Unsolved}}\)
