CF1209E2 Rotate Columns (hard version)

题意

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵，你可以对每一列进行若干次循环移位。

求操作完成后每一行的最大值之和最大是多少。

Solution

考虑到 \(n\) 的范围比较小，应该可以用状压。于是令 \(dp_{i,s}\) 表示处理完前 \(i\) 列，使 \(s\) 集合中的行的最大值已经确定的最大值和最大是多少。那么对于每一列相当于可以钦定某些行的最大值确定。

每次枚举子集然后循环位移当前列即可。这样可能会枚举到不可能的情况，但是肯定不优于最后答案，所以没关系。

然后这样复杂度就爆炸了。

然后贪心的想，最优策略肯定是每一列取其最大值就好。于是对每一列按其最大值排序，然后取前 \(n\) 个做就行了。

Code

// Problem: CF1209E2 Rotate Columns (hard version)
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF1209E2
// Memory Limit: 2500 MB
// Time Limit: 250000 ms

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
#define pb emplace_back
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define siz(a) (int)a.size()
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define pt(a) cerr<<#a<<'='<<a<<' '
#define pts(a) cerr<<#a<<'='<<a<<'\n'
// #define int long long
using namespace std;
const int MAXN=2010;
int n,m;
struct Col{
	int a[15],mx;
	bool friend operator<(Col x,Col y){
		return x.mx>y.mx;
	}
}c[MAXN];
int dp[15][(1<<12)+5],mxc[(1<<12)+5];
void solve(){
	cin>>n>>m;
	rep(j,1,m) c[j].mx=0;
	rep(i,1,n) rep(j,1,m){
		cin>>c[j].a[i];
		c[j].mx=max(c[j].mx,c[j].a[i]);
	}sort(c+1,c+1+m);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	rep(i,1,min(n,m)){
		rep(j,0,(1<<n)-1){
			mxc[j]=0;
			rep(dlt,0,n-1){
				int sum=0;
				rep(k,1,n) if(j&(1<<(k-1))) sum+=c[i].a[(k+dlt-1)%n+1];
				mxc[j]=max(mxc[j],sum);
			}
		}
		rep(j,0,(1<<n)-1){
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][0]+mxc[j]);
			for(int sj=j;sj;sj=(sj-1)&j){
				int st=j^sj;
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][sj]+mxc[st]);
			}
		}
	}cout<<dp[min(n,m)][(1<<n)-1]<<'\n';
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int T;for(cin>>T;T--;)solve();
	return 0;
}