P5933 [清华集训2012]串珠子

题意

给定一张 \(n\) 个点的图，其中 \(i\) 和 \(j\) 两点间有 \(c_{i,j}\) 种边可以连。求把这 \(n\) 个点连成连通块的方案数是多少。

Solution

还是考虑拍在脸上的状压。

令 \(f_S\) 表示点集 \(S\) 中的点联通图的个数。如果我们考虑 \(c_{i,j}=1\)，那么容易想到这就是考虑有多少联通图，那么以前做过，可以用生成函数。当时是令 \(g_S\) 表示点集 \(S\) 构成不一定联通的图的个数。这题也差不多。首先 \(g\) 随便求：

\[g_S=\prod_{i,j\in S}(c_{i,j}+1) \]

然后在求 \(f_S\) 的时候，你先求 \(S\) 中点不联通的图的个数，然后用 \(g_S\) 减去它。后者可以先枚举出 \(S\) 的一个子集 \(T\)，然后假设这个子集是联通的，那么方案数是 \(f_T\)。但是接下来你会发现这里算重了！

\(\color{red}{\bigstar}\) 为了保证不算重，可以固定一个点 \(p\) 在集合 \(T\) 中，也就是说我们只枚举包含 \(p\) 的子集。这样子就不会有重复的情况了。

那对于 \(S-T\) 的部分就可以用 \(g_{S-T}\) 了。所以有：

\[f_S=g_{S}-\sum_{p\in T\subset S}f_Tg_{S-T} \]

Code

// Problem: P5933 [清华集训2012]串珠子
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5933
// Memory Limit: 500 MB
// Time Limit: 1000 ms

#include<bits/stdc++.h>
// #define ll long long
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
#define pb emplace_back
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define pt(a) cerr<<#a<<'='<<a<<' '
#define pts(a) cerr<<#a<<'='<<a<<'\n'
#define int long long
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int MAXN=1e6+10;
int c[20][20],f[MAXN],g[MAXN];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n;cin>>n;
	rep(i,1,n) rep(j,1,n) cin>>c[i][j];
	rep(s,0,(1<<n)-1){
		g[s]=1;
		rep(i,1,n){
			if(!(s&(1<<(i-1)))) continue;
			rep(j,i+1,n)
				if(s&(1<<(j-1)))
					g[s]=g[s]*(c[i][j]+1)%MOD;
		}
	}
	rep(s,1,(1<<n)-1){
		int p=s&(-s),sub=0;
		for(int t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
			if(!(t&p)) continue;
			sub=(sub+f[t]*g[s^t]%MOD)%MOD;
		}f[s]=(g[s]-sub+MOD)%MOD;
	}
	cout<<f[(1<<n)-1]<<'\n';
	return 0;
}