VP 记录

一些拉跨的 VP 记录。

一些标记：

• $\color{green}{\bigstar}$ 表示赛时做出来的题；
• $\color{orange}{\circlearrowleft}$ 表示赛时有想法但是没通过的题；
• $\color{blue}{\Delta}$ 表示已补的题
• $\color{red}{\circledS}$ 表示赛时完全没有思路/没有时间看的题。

ARC 113#

$\color{green}{\bigstar}$A：给你一个 $K$，求有多少三元组 $(A,B,C)$ 使得 $ABC\le K$。

直接枚举是对的。

$\color{green}{\bigstar}$B：给你 $A,B,C$，求 $A^{B^C}$ 的个位数。

首先可以把 $A$ 模 $10$，但是你发现这个 $10$ 它不是质数，也不一定互质什么的。哦但是这样我们只要知道指数的模数是多少就可以了。然后 $A$ 不超过 $9$，打表求循环节：
0:1|1:1|2:2486|3:3971|4:46|5:5|6:6|7:7931|8:8426|9:91
记得判断指数结果为 $0$ 的情况。

$\color{green}{\bigstar}$C：给你一个字符串，求最多操作多少次。一次操作能把相邻三个字符，如果前两个相同而与第三个不同，则把第三个改成与前两个相同。

直接从后往前做，就是如果扫到连续多个字符相同，那就算出它的贡献，再记录上一次是什么字符，否则无法覆盖之前的。还要记录中间不同的那一段扫过来每个字符出现的次数。

$\color{green}{\bigstar}$D：给你一个 $N,M$ 以及 $K$。然后在一张 $N\times M$ 的网格图里填上 $[1,K]$ 内的数字，令 $A_i$ 为第 $i$ 行的最小值，$B_j$ 为第 $j$ 列的最大值。现在要求有多少不同的 $(A,B)$。

就是 $A$ 的最大值一定要小于等于 $B$ 的最小值。否则，$A$ 中的最大值一定会出现在 $B$ 中，就不合法了。除此以外，我们一定能够构造方案。注意特判一行或者一列的情况。
然后就是，你只要做这样一个问题：给定值域 $K$，求有多少序列对 $(A,B)$，满足 $A$ 的最大值小于等于 $B$ 的最小值。挺经典的计数问题。我们令 $a_i$ 表示长度为 $N$ 的序列值域为 $i$ 的序列总数（$i$ 必选），这个东西可以直接差分得到，就是你减去 $a_{i-1}$ 就行了。

$\color{red}{\circledS}$E：$T$ 组数据，每组给你一个由 a 和 b 构成的字符串，要求操作若干次后得到的字符串字典序最大。每次操作可以选择两个相同的字符，然后把中间的字符翻转，然后删去这两个字符。

$\color{red}{\circledS}$F：给你一个 $X_{0\sim n}$，现在你在实数轴上有 $n$ 个人，第 $i$ 个人的位置在 $X_{i-1}\sim X_i$ 间随机。

ARC125#

$\color{green}{\bigstar}$A：给你一个序列 $a$，一次操作可以使它前后循环移动，或者将第一个元素放入 $b$ 的末尾，求最少多少次可以使得 $b=T$。

由于串只由 01 构成，所以如果 $T$ 由 01 构成，那么贪心地想肯定是先移动到一个 01 相邻的位置，然后不停地反复横跳。在此之前 01 也可以放入 $b$ 的末尾。此前注意很多很多特判全 0 或者全 1。

$\color{green}{\bigstar}$B：给你一个 $N$，求有多少个数对 $(x,y)$ 满足 $x^2-y$ 是平方数。要求 $1\le x,y\le N$。

首先假设这个平方数是 $a^2$，那么通过移项可以得到：$(x-a)(x+a)=y$。那么我们令 $u=x-a,v=x+a$，就会得到如下限制：

$$\begin{cases} u\le v\\ 1\le uv\le N\\ 2\le u+v\le 2N\\ u\equiv v\pmod 2 \end{cases}$$

依照这些限制，枚举的 $u$ 只需要到 $\sqrt{N}$ 就行了，然后对于一个 $u$，可以直接算出合法的 $v$ 的取值个数。

$\color{blue}{\Delta}$C：给你一个序列 $A$，求 $N$ 的所有排列中，以 $A$ 为最长上升子序列的字典序最小的那个。

采用归纳法。首先考虑边界：如果 $K=1$，则唯一的方案就是倒序排列。

然后对于 $A_1$ 进行分类：

1. 若 $A_1=1$，那么我们在构造的时候 $P_1=1$ 必然成立。这很显然。那么问题就缩小规模到 $K-1$ 长度的 $A=\{A_2-1,A_3-1,\cdots,A_K-1\}$，求它的答案，然后每一项再加回 $1$ 就是最终的结果。
2. 若 $A_1>1$，那么再构造的时候 $P_1=A_1$ 必然成立。此时，必然有 $P_2=1$，因为这样构造一定有解并且字典序最小。我们接下来考虑这个解。这样一来，相当于在后面问题缩小到 $K-1$ 长度的 $P$ 是 $\{2,3,\cdots,A_1-1,A_1+1,\cdots,N\}$ 的排列，并且要满足 ${A_2,A_3,\cdots,A_K}$ 是它的 LIS。

直接递归求解即可。