[清华集训2016] 组合数问题

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Solution

\(\color{red}{Hint:}\) 考虑用 Lucas 定理。

好，\(n\choose m\) 是 \(k\) 的倍数相当于 \({n\choose m}\%k=0\)。

Lucas 定理得：

\[{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\choose\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\times{n\%k\choose m\%k} \]

接下来，你惊奇地发现，这个 Lucas 定理实际上就是对组合数的两个参数进行了一个 \(k\) 进制拆分。

接下来的处理非常高妙啊。假设我们对 \(n,m\) 都进行了 \(k\) 进制拆分，\(n\) 第 \(i\) 位为 \(n_i\)，\(m\) 第 \(i\) 位为 \(m_i\)，即：

\[n=n_pk^p+\cdots+n_1k+n_0 \]

\[m=m_qk^q+\cdots+m_1k+m_0 \]

这样我们有：

\[{n\choose m}\equiv \prod_i{n_i\choose m_i}\pmod{k} \]

然后我们注意到，无论是 \(n_i\) 还是 \(m_i\)，都是小于 \(k\) 的，所以 \(n_i\choose m_i\) 不可能是 \(k\) 的倍数。所以要想 \(n\choose m\) 是 \(k\) 的倍数，当且仅当 \(\exists i,n_i<m_i\) 成立。

这样我们可以方便判断一个 \((n,m)\) 是否合法。

考虑计算在某一个范围内合法的个数。容易想到像数位 dp 那样，利用不重复计算重复信息来加速。

现在我们形式化题意就是，给出一个 \(n,m\)，然后要求有多少二元组 \((i,j)\) 使得 \(0\le i\le n,0\le j\le \min(i,m)\)，并且在 \(k\) 进制下，\(i\) 的某一位小于 \(j\) 的某一位。

记录：当前是 \(k\) 进制下第 \(p\) 位，是否已经存在某一位 \(i<j\)，\(j\) 是否顶住 \(i\)，\(i\) 是否顶住上界以及 \(j\) 是否顶住上界。

然后直接爆搜加上记忆化就行了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
#define pb emplace_back
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define pt(a) cerr<<#a<<'='<<a<<' '
#define pts(a) cerr<<#a<<'='<<a<<'\n'
#define int long long
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
int k,n,m,dp[65][2][2][2][2];
int dn[65],dm[65];
int dfs(int p,bool les,bool eq,bool nd,bool md){
	if(!p) return les;
	if(~dp[p][les][eq][nd][md]) return dp[p][les][eq][nd][md];
	int ret=0,en=nd?dn[p]:k-1,em=md?dm[p]:k-1;
	rep(i,0,en) for(int j=0;j<=em&&(!eq||j<=i);j++)
		(ret+=dfs(p-1,les||(i<j),eq&&(i==j),nd&&(i==en),md&&(j==em)))%=MOD;
	dp[p][les][eq][nd][md]=ret;
	return ret;
}
void solve(){
	cin>>n>>m;
	int tn=0,tm=0;
	memset(dn,0,sizeof(dn));
	memset(dm,0,sizeof(dm));
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	while(n) dn[++tn]=n%k,n/=k;
	while(m) dm[++tm]=m%k,m/=k;
	cout<<dfs(max(tn,tm),0,1,1,1)<<'\n';
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int T;for(cin>>T>>k;T--;) solve();
	return 0;
}