学习笔记——反悔贪心

前言#

发现自己并不是很熟练这个人类智慧，于是来补一下。

本文跟随djy 的博客。题目来自于题单。

反悔贪心#

其本质大概是考虑一个有一个能被 hack 的贪心策略，这个时候我们先选着当前策略，然后我们考虑加入一个东西，使得之后选这个东西可以抵消掉之前的策略。

一般考虑用堆实现这个东西。感觉和 dp 一样是人类智慧。具体可以看看例题。

例题#

• CF865D Buy Low Sell High

有 $n$ 天，每天可以买入一支卖出一支，或者什么都不做，求 $n$ 天后能获得的最多的钱。

容易发现，一天内买入一次加上卖出一次相当于什么都没做，于是我们考虑一个贪心，就是每天选择之前价格最低的与之配对，也就是那天买入，这天卖出，这个用一个小根堆维护即可。

但是这个东西显然是错的，因为可能这个最小价格的留给后面某一个配对是更优的，所以我们考虑消除当前的选择，也就是所谓的反悔。

比如说，我们之前选择了 $i,j$ 配对，但是当枚举到 $k$ 的时候，你发现，可能 $i,k$ 配对更优。这个怎么撤销呢？我们发现：

$$c_k-c_i=(c_k-c_j)+(c_j-c_i)$$

就是说，相当于抉择了两次。考虑实际上就是让 $j$ 配对了之后还能与 $k$ 配对，所以就是再次把 $c_j$ 加入小根堆就好了。

My Code

const int MAXN=3e5+10;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,v;cin>>n;
	ll ans=0;
	rep(i,1,n){
		cin>>v;
		if(!q.empty()&&q.top()<v)
			ans+=v-q.top(),q.pop(),q.push(v);
		q.push(v);
	}cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

从这个例题中我们可以总结出反悔贪心的一般套路。就是首先考虑贪心，然后发现这贪心是假的；然后考虑题目中一个元素的『无用』操作，即正着做一次反着做一次相当于没做；然后考虑贪心哪里是错的；最后考虑用加入反元素的方式来撤销之前的抉择。

还是要多做题。

练习题#

• P2949 [USACO09OPEN]Work Scheduling G

有 $n$ 项工作（$1\le n\le 10^5$），每项工作有截止时间和利润。完成一项工作可以获得它的利润，而每一时刻只能选择完成一项工作。求最多获得的利润。

错误的贪心，就是不考虑优劣性，直接往里面加。那我们考虑维护一个堆，然后按时间排序后依次加入，这样感性理解起来可以加入很多。然后反悔的时候，取出当前堆顶，然后比较当前元素于堆顶的优劣。如果是当前元素更优，那就把之前做堆顶工作的时间拿来做当前工作。

• P4053 [JSOI2007] 建筑抢修

有 $n$ 个建筑，每个建筑有时间花费 $t_1$ 和截止时间 $t_2$。求最多抢修几个建筑（一个修完才能修下一个）。

这题变成了价值为 $1$ 而用时给出。同样考虑错误的贪心，按时间顺序加入，然后每次找前面占时间最多的来替换，需要大根堆。

• P2107 小Z的AK计划

现在数轴上有 $n$ 个点，从原点出发，每一单位时间可以走一单位距离。到达一个点可以选择花费 $t_i$ 的时间获得 $1$ 的价值。求最终能获得多少价值。

首先一个贪心是肯定不会往回求，这要求我们边走边做好策略的选择。这样直接反悔即可。和上面那题一样顺次加入，然后如果无法加入，就把之前花费时间最多的点舍弃掉。

• P3545 [POI2012]HUR-Warehouse Store

你经营一家商店，上午会进货 $a_i$，下午可以选择卖出 $b_i$，从而满足一位顾客。求最多满足多少顾客。并输出方案。

又是非常显然的反贪。你首先考虑贪心，如果能卖那就一定卖。然后如果某一天商品不够了，就从前面选一个买了商品最多的人，替换掉。

• P1484 种树

现在有 $n$ 个树坑，每个坑种树有一定收益。现在有 $k$ 棵树可以种，然后两棵树不能相邻，求最大收益。

比较难想啊，看了题解。就是你首先考虑一个错误的贪心，就是每次取出最大的一个数，如果它左右没有种，那就种上，否则就不种。考虑这样在什么时候是不优的。就是你如果选了一个数，结果把这个数换成选两边可能更加优。所以你考虑加入一个东西使得能够反悔。

其实和例题差不多，就是你希望可以选两边的而不选中间，那你就加入 $w_l+w_r-w_{mid}$，这样，你把序列用链表维护起来，然后选了一个点就把它左右的数从链表中删去，同时把这个点的权值改成上面说的那个。然后每次在大根堆中不断取出，看能不能种。

好强的反悔方式！讨论区 $4$ 倍经验！

• CF730I Olympiad in Programming and Sports

有 $n$ 个人，每个人有两个属性 $a,b$，把这 $n$ 个人分成 $A,B$ 两个大小分别为 $p,s$ 的集合。使得 $A$ 集合中的人 $a$ 属性的和加上 $B$ 集合中的人 $b$ 属性的和的和最大。输出方案。

考虑一个贪心，就是首先先把前 $p$ 个 $a$ 大的放到 $A$ 集合中的。然后看每一个放到 $B$ 中对最终答案的贡献，看是否更优，如果能更优就加。然后看当前选来放到 $B$ 集合的人，如果没有被选入到 $A$ 中，那么直接加入，答案加上 $b_i$。否则，我们看能不能找一个人来替代它更优，我们假设是 $j$，那么对答案的贡献是 $b_i-a_i+a_j$。如果这个贡献是负的，那我当前这个不加也罢！

所以我们当前的策略是，把没有加入 $B$ 的人的 $b_i,a_i,b_i-a_i$ 都塞到堆里面。然后每次取出 $b_i$ 的堆中最大的和 $b_i-a_i$ 中最大的加上 $a_i$ 中最大的。注意，$b_i$ 和 $a_i$ 堆中是两个集合都没有选的，剩下的是 $b_i-a_i$ 是选入了 $A$ 集合的。然后两个比较一下，加入即可。这样循环 $s$ 次，就求出最后的结果了。注意及时更新堆中的元素。

• AT2672 [AGC018C] Coins

就是在上面那题的基础上再加上多出一个属性。并且每个人都要属于一个集合。

考虑转化成上一题。你假设大家都加入第一个集合，那么然后 $b_i\to b_i-a_i$，$c_i\to c_i-a_i$。就和上一题一模一样了。

• CF802O April Fools' Problem (hard)

每天可以花费 $a_i$ 准备一题，花费 $b_i$ 打印一题，然后每天最多准备一题打印一题，求打印 $k$ 题的最小花费。

首先考虑贪心，你可以把这个准备看成是买入一只股票，打印是反向卖出一只股票。现在需要求恰好卖出 $k$ 只股票。如果没有 $k$ 只股票的限制，则直接使用例题的思想就做完了。现在，我们考虑，如何控制它恰好卖出 $k$ 只股票。直观考虑，如果我们每只股票的收益同时增加一个 $d$，则最终策略的优劣性不变，但是我们会买更多的股票。于是我们二分这个 $d$，然后每次求最优策略下买的股票的个数就行了。

• CF436E Cardboard Box

$n$ 个关卡，对每个关卡，你可以花 $a_i$ 代价得到一颗星，也可以花 $b_i$ 代价得到两颗星，也可以不玩。问获得 $w$ 颗星最少需要多少时间。并输出方案。

同样考虑贪心，考虑加入的时候贪心有两种方式，一种是一颗星星，另一种是两颗星星。不妨考虑把两颗星星当成花费 $b_i-a_i$ 的代价在一颗星星的基础上在获得一颗星星。我们进行反悔，可以把一颗星星反悔成不选，然后再另外选一颗变成两星，那么就是 $b_j-a_i$。也可以把两颗星星的反悔成一颗，然后再另外选一个没有星星的变成两颗星星，这样代价就是 $a_i-b_i+b_j$。然后我们用 $5$ 个堆分别维护 $b_i-a_i$，$b_i$，$-a_i$，$a_i-b_i$，$a_i$。

后记#

其实做多了就发现，反悔贪心的最重要的一点就是找到撤销与贪心。

然后迫使每次选择都使决策点加一。