学习笔记——线段树合并

前言#

好像机房人人都会这个东西，就我不会，只能爬去学一下。。。

这是啥#

好像是个挺没用的东西，感觉主要处理树上数数什么的问题，都可以用 dsu 神器来替代。但也有的问题不能用 dsu 的，比如这题。

来考虑这样一件事，就是说，我们有的时候希望对于每个点都维护一棵线段树，并且希望能够实现一些鬼畜的♂操♂作♂，这时候需要用到线段树合并。

但是我们考虑这样一件事就是说，由于是合并，那么在合并之前必然是有很多的线段树，所以传统的线段树肯定是没法用的。于是——

动态开点线段树#

这个东西还是比较简单的，就在插入元素的时候不采用堆式建树，而是采用记录左右儿子，然后在插入的时候访问到一个节点才会去开这个点的空间，这样就可以开下空间了。

注意一点是：动态开点的空间要开 20 倍以上，不然一开始空间会不太够。

void ins(int &i,int l,int r,int v){
	if(l>r) return;if(!i) i=++tot;
	tr[i].l=l;tr[i].r=r;
	if(l==r){
		//加上信息 
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(v<=mid) ins(ls[i],l,mid,v);
	else ins(rs[i],mid+1,r,v);
	pushup(i);
}

线段树合并#

由于这个空间比较玄学，我找了好多地方，总结：空间一般能开多大开多大，一般开到 $O(n(\lceil\log n\rceil+1))$ 就可以了。

为什么是这个东东？

由于我们是动态开点，那么初始的时候每个节点上的线段树空间是 $\log$ 的，由于线段树两倍的尿性，我们向上取整。

而合并的时候相当于把两棵线段树叠在一起，所以总空间就是 $n\log n$，但是又考虑到线段树两倍的尿性，我们加个 $1$。

下面是代码。

int merge(int a,int b){
	if(!a) return b;
	if(!b) return a;
	if(tr[a].l==tr[a].r){
		//按需合并信息
		return a;
	}
	ls[a]=merge(ls[a],ls[b]);
	rs[a]=merge(rs[a],rs[b]);
	pushup(a);return a;
}

习题#

我们掏出这个题单。

• P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

发现最后只询问一次，不需要树剖，直接树上差分。但是发现需要维护很多不同的颜色，所以考虑对每个节点维护一个线段树，然后向上做的时候合并就可以了。

record

• P3605 [USACO17JAN]Promotion Counting P

好像 DSU 能艹，但是我们在学线段树合并，坚决不用 DSU！

套路一样，权值线段树合并就可以了。

record

• P3521 [POI2011]ROT-Tree Rotations

挺牛逼题，考虑到子树内你无论怎么换，是不会影响到子树外的，所以贪心就可以了。

对每个节点维护一棵权值线段树，然后合并之前，先算一下左儿子的右区间中的数和右儿子左区间中的数，这些可以两两组成逆序对。同样的，由于可以交换，所以我们对于左儿子的左区间和右儿子的右区间也要算，然后取个较小的。递归继续合并。

record

这里是 DSU 水的题，实在不想用线段树合并

• P5384 [Cnoi2019]雪松果树

题目大致是求对于每个询问求一个点，有多少个点与其拥有共同的 $k$ 级祖先（除本身）。

哦哟很可以 DSU。但是我们在学线段树合并，坚决不用 DSU！

艹不太会用线段树合并做，先用 DSU 过了再说。。。

哦哟苦痛，DSU 倍增卡空间，不会长剖，于是看了讨论区，发现这题并不需要 DSU 或者线段树合并，只需要一个奇怪的 trick，在深度遍历一个子树的前后你差分求出深度为 $k$ 的节点个数就行了。诶但是问题是还是要倍增啊……

djwj233 给出了维护递归栈的做法。吊了，直接查，空间是 $O(n)$ 的。

record

• P3899 [湖南集训]更为厉害

牛了，zzmg 题。。。考虑把题意翻译一下：

每次给定一个 $p,k$。求满足条件的二元组 $(b,c)$ 的个数。

1. $p,b$ 都是 $c$ 的祖先
2. $p,b$ 之间距离不超过 $k$

然后我们发现，由于 $p$ 是固定的，所以如果 $b$ 在 $p$ 上方，那么 $c$ 的选法就是 $siz_p-1$。但是如果 $b$ 在 $p$ 的下方——

这样 $c$ 选的方案数就与 $b$ 有关了，具体地，就是 $siz_b-1$。而 $b$ 的选法就是在 $p$ 的子树中并且深度差不超过 $k$ 的节点数。

那第一种可以直接算，第二种似乎可以 DSU……啊不，线段树合并！个鬼啊，写 DSU 去了。

record

• CF932F Escape Through Leaf

诶哟李超树，不会，先咕了。

• P5612 [Ynoi2013] Ynoi

哦 Ynoi，准备苦痛了。

• P5298 [PKUWC2018]Minimax
• P6773 [NOI2020] 命运