学习笔记——斜率优化 dp
引入
斜率优化，是单调队列优化的一个进阶版本，为了更好地理解，先来回顾一下单调队列吧~
所谓单调队列优化，就是对于形如：
的 \(dp\) 式，我们把所有的 \(dp_j+a_j\) 放进单调队列里，实现 \(O(1)\) 的转移。
这个时候，只有在式子中，每一项只有关于 \(j\) 或者只有关于 \(i\) 的。但是如果有这样一个式子：
这时候，我们就不能只考虑 \(a_j\)，因为对于每个 \(i\)，其大小都是不同的。
流程
我们先来看一道例题：[HNOI2008]玩具装箱
我们很容易得到原始的 \(dp\) 式子，\(c_i\) 是前缀和：
为了简化，我们设 \(a_i=c_i+i\)，\(b_i=c_i+i+1+L\)。
则可以转化为：
我们可以发现其中有一项 \(2a_ib_j\)，不能用单调队列。
这时候，我先把式子移项成：
其中 \(j\) 项都是已知的，我们需要从中找出使得 \(dp_i\) 最小的。
不妨，我们把 \(b_j\) 看成 \(x\)，\(dp_j+b_j^2\) 看成 \(y\)。那么这个式子可以看成是一条直线，而其斜率是固定的 \(2a_i\)，截距就是 \(dp_i-a_i^2\)。并且，这条直线必然经过点 \((b_j,dp_j+b_j^2)\)。这时候，我们回来考虑我们的目的：求使得 \(dp_i\) 最小。这也就是说要使截距最小，而斜率是确定的，我们可以看成是一条直线可以上下平移。
如果我们把之前已经求出的化成一个个点，其横坐标是 \(b_j\)，其纵坐标是 \(dp_j+b_j^2\)，此时只要这条直线经过了这个点，那么也就是说当前的截距加上 \(a_i^2\) 就是从当前的 \(j\) 转移所得到的 \(dp_i\)。为了使得 \(dp_i\) 最小，我们找到从下往上第一个经过这条直线的点转移即可。
有点绕，我们来看几张图：
假如说我们把之前已经得到的数据映射成点是酱紫的：
然后我们用当前的直线从下往上移，当碰到第一个点时就停下转移：
此时得到的 \(dp_i\) 是最小的。
所以我们只要维护一个向下的凸包就可以了：
然后我们发现，斜率 \(2a_i\) 是单调递增的，那么一个点一旦不满足，那么对于之后的直线也一定不会选它了，我们可以用单调队列来维护斜率。这样，我们也可以用类似于单调队列的方式来维护斜率，实现 \(O(1)\) 转移。
接下来，我分享我的套路：
- 写出原始的 \(dp\) 式子；
- 然后把只含有 \(j\) 项的放在右边，其他都移到左边；
- 接下来把既含有 \(i\) 又含有 \(j\) 的项中的 \(j\) 项看成 \(x\)，右边看成 \(y\)；
- 然后观察斜率是否满足单调性，若满足，则可以用单调队列，否则用二分；
- 最后考虑维护上凸还是下凸。
好了。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1<<30
#define INF 1ll<<60
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10;
ll a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],dp[MAXN];
int q[MAXN];
ll X(int i){return 2*b[i];}
ll Y(int i){return dp[i]+b[i]*b[i];}
int main()
{
int n,L;
scanf("%d%d",&n,&L);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&c[i]);
c[i]+=c[i-1];
a[i]=c[i]+i;b[i]=c[i]+i+1+L;
}
int head=0,tail=0;
b[0]=L+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail&&a[i]*(X(q[head+1])-X(q[head]))>(Y(q[head+1])-Y(q[head])))
head++;
int j=q[head];
dp[i]=dp[j]+(a[i]-b[j])*(a[i]-b[j]);
while(head<tail&&(Y(i)-Y(q[tail]))*(X(q[tail])-X(q[tail-1]))<(Y(q[tail])-Y(q[tail-1]))*(X(i)-X(q[tail])))
tail--;
q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",dp[n]);
}
/*ZMatrisutedX
dp[i]=dp[j]+(c[i]+i-c[j]-j-L)^2
a[i]->c[i]+i b[i]->c[i]+i+L
2*b[j]*a[i]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2
*/
