学习笔记——斜率优化 dp

引入#

斜率优化，是单调队列优化的一个进阶版本，为了更好地理解，先来回顾一下单调队列吧~

所谓单调队列优化，就是对于形如：

$$dp_i=\max\{dp_j+a_j\}$$

的 $dp$ 式，我们把所有的 $dp_j+a_j$ 放进单调队列里，实现 $O(1)$ 的转移。

这个时候，只有在式子中，每一项只有关于 $j$ 或者只有关于 $i$ 的。但是如果有这样一个式子：

$$dp_i=\max\{dp_j+a_j\times a_i\}$$

这时候，我们就不能只考虑 $a_j$，因为对于每个 $i$，其大小都是不同的。

流程#

我们先来看一道例题：[HNOI2008]玩具装箱

我们很容易得到原始的 $dp$ 式子，$c_i$ 是前缀和：

$$dp_i=dp_j+(c_i+i-c_j-j-1-L)^2$$

为了简化，我们设 $a_i=c_i+i$，$b_i=c_i+i+1+L$。

则可以转化为：

$$dp_i=dp_j+a_i^2+b_j^2-2a_ib_j$$

我们可以发现其中有一项 $2a_ib_j$，不能用单调队列。

这时候，我先把式子移项成：

$$2a_ib_j+dp_i-a_i^2=dp_j+b_j^2$$

其中 $j$ 项都是已知的，我们需要从中找出使得 $dp_i$ 最小的。

不妨，我们把 $b_j$ 看成 $x$，$dp_j+b_j^2$ 看成 $y$。那么这个式子可以看成是一条直线，而其斜率是固定的 $2a_i$，截距就是 $dp_i-a_i^2$。并且，这条直线必然经过点 $(b_j,dp_j+b_j^2)$。这时候，我们回来考虑我们的目的：求使得 $dp_i$ 最小。这也就是说要使截距最小，而斜率是确定的，我们可以看成是一条直线可以上下平移。

如果我们把之前已经求出的化成一个个点，其横坐标是 $b_j$，其纵坐标是 $dp_j+b_j^2$，此时只要这条直线经过了这个点，那么也就是说当前的截距加上 $a_i^2$ 就是从当前的 $j$ 转移所得到的 $dp_i$。为了使得 $dp_i$ 最小，我们找到从下往上第一个经过这条直线的点转移即可。

有点绕，我们来看几张图：

假如说我们把之前已经得到的数据映射成点是酱紫的：

然后我们用当前的直线从下往上移，当碰到第一个点时就停下转移：

此时得到的 $dp_i$ 是最小的。

所以我们只要维护一个向下的凸包就可以了：

然后我们发现，斜率 $2a_i$ 是单调递增的，那么一个点一旦不满足，那么对于之后的直线也一定不会选它了，我们可以用单调队列来维护斜率。这样，我们也可以用类似于单调队列的方式来维护斜率，实现 $O(1)$ 转移。

接下来，我分享我的套路：

1. 写出原始的 $dp$ 式子；
2. 然后把只含有 $j$ 项的放在右边，其他都移到左边；
3. 接下来把既含有 $i$ 又含有 $j$ 的项中的 $j$ 项看成 $x$，右边看成 $y$；
4. 然后观察斜率是否满足单调性，若满足，则可以用单调队列，否则用二分；
5. 最后考虑维护上凸还是下凸。

好了。

Code#

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1<<30
#define INF 1ll<<60
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10;
ll a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],dp[MAXN];
int q[MAXN];
ll X(int i){return 2*b[i];}
ll Y(int i){return dp[i]+b[i]*b[i];}
int main()
{
	int n,L;
	scanf("%d%d",&n,&L);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&c[i]);
		c[i]+=c[i-1];
		a[i]=c[i]+i;b[i]=c[i]+i+1+L;
	}
	int head=0,tail=0;
	b[0]=L+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&a[i]*(X(q[head+1])-X(q[head]))>(Y(q[head+1])-Y(q[head])))
			head++;
		int j=q[head];
		dp[i]=dp[j]+(a[i]-b[j])*(a[i]-b[j]);
		while(head<tail&&(Y(i)-Y(q[tail]))*(X(q[tail])-X(q[tail-1]))<(Y(q[tail])-Y(q[tail-1]))*(X(i)-X(q[tail])))
			tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",dp[n]);
}
/*ZMatrisutedX
dp[i]=dp[j]+(c[i]+i-c[j]-j-L)^2
a[i]->c[i]+i	b[i]->c[i]+i+L
2*b[j]*a[i]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2

*/