组合数

前言

把沉天问沉默了，又去问了胡筝才懂

正文

旗

$m$ 个相同的小球放进 $n$ 个不同的盒子

可以为空，所以补 $n$ 个球

$n+m-1$ 个空隙，插 $n-1$ 块板

$C_{n+m-1}^{n-1}=C_{n+m-1}^m$

十二重计数法

但只会神子

1. 球之间互不相同，盒子之间互不相同

$m^n$

2. 球不同，盒子不同，每个盒子至多装一个球

相当于每个球找一个没有被选过的盒子放进去

3. 球不同，盒子不同，每个盒子至少装一个球

钦定是哪个盒子没有放球，用总方案数减去这个方案数就会得到这个盒子一定放了球的方案数。但是你在钦定不同的盒子的时候可能会记重，比如对于 $i$ 和 $j$ 两个都空的情况，你会在钦定 $i$ 和钦定 $j$ 时都计算一遍，所以你还要加上这一部分的方案数。以此类推，可以得到答案为

$\sum _{i=0}^m(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})(m-i{)}^n$

4. 球不同，盒子相同

第二类斯特林数，考虑枚举多少个盒子里头装了球

5. 球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球

不论放到哪个盒子里头都是一样的 $[n\le m]$

6. 球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球

裸的第二类斯特林数

7. 球全部相同，盒子之间互不相同

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})$

8. 球相同，盒子不相同，每个盒子至多装一个球

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$

9. 球相同，盒子不相同，每个盒子至少装一个球

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$

10. 球相同，盒子相同，无其他限制

只会 $n^2$ : $p_{i,j}=p_{i-j,j}+p_{i,j-1}$

11. 球相同，盒子相同，每个盒子至多装一个球

和 5 一样

12. 球相同，盒子相同，每个盒子至少装一个球

先强制在每个里面放一个球，所以就是 $p_{n-m,m}$
​