标题被网络流虐菜了

前言

被云落骂了，为了证明我现在有多菜，他让我做了这道题

正文

构造矩阵

要求构造一个 $n\times m$ 的 $01$ 矩阵，满足每一行中 $1$ 的个数分别为 $r_1,r_2,\dots ,r_n$ ,每一列中1的个数为 $c_1,c_2,\dots ,c_m$。

在此基础上要求字典序最小。两个矩阵比较字典序时先比较第一行，第一行相等再比较第二行……

$n,m\le 100$。

不考虑字典序的构造

行列拆开，把源点连向行，容量为 $r_i$，列连向列，容量为 $c_i$，行列之间连，容量为 1，代表每个格子只能选一个 1

加上字典序，越先取 0 越好

那么如果一个数能取 0 ，就尽量取 0

我们又知道了在上面的算法中在增广路上的点可以填 1

那么填 0 的情况除了不在增广路上，就是在增广路上但不要这个点还有其他增广路

int check(int x,int y){
    dinic();
	if(!r1[x]||!c1[y-n])return 1;//0的数量
	r1[x]--,c1[y-n]--;
	if(e[a[x][y]].w){
		e[a[x][y]].w=0;
		e[a[x][y]^1].w=0;
		return 0;
	}else{
		e[a[x][y]].w=0;
		e[a[x][y]^1].w=0;
		e[a[s][x]].w++;
		e[a[s][x]^1].w--;
		e[a[y][t]].w++;
		e[a[y][t]^1].w--;
		if(dinic()==1)return 0;
        r1[x]++,c1[y-n]++;
		e[a[y][t]].w--;
		e[a[y][t]^1].w++;
		e[a[s][x]].w--;
		e[a[s][x]^1].w++;		
		return 1;
	}
}

势能

2.对任意两个连通的节点 $x,y$，从 $x$ 到 $y$ 的所有路径 $x_i$（流量）的和都是相等的

由这条，我们可以给每个点加一个势能（可以看看第一篇题解的图）

设 $out(i)$ 表示 $i$ 连向的点，$in(i)$ 表示连向 $i$ 的点，可以列出来一个方程：$\sum (h_i-h_{in(i)})=\sum (h_{out(i)}-h_i)$

n-2 个方程，1,n 随便附个势能

如果我们把所有点高度都按照一定比例缩放，这两个限制仍然是成立的。

我们找到能缩放的最大比例，然后进行缩放，就得到了最大流（即和汇点相连的边的流量之和）和每条边的流量。

神题

对于每一天向后一天连边 $(inf-a_i,0)$

对于每一种志愿者选择，$s_i$​ 向 $t_i+1$ 连边 $(inf,c_i)$

从超级源向第一天连边 $(inf,0)$

从最后一天+1向超级汇连边 $(inf,0)$

这个就是

你需要先保证最大流，然后再看费用

后记

不嘻嘻