欧拉函数

前言

本文纯属本蒟蒻的学习笔记，若要学更详细更专业的，请出门左拐

正文

欧拉函数，也就是 $\phi (n)$

表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数

当 $n$ 是质数的时候，显然有 $\phi (n)=n-1$ 。

求法

先说求法吧

首先，可以用定义求，复杂度 $O(nlogn)$

然后是单个求法

性质1：若 $n=p^k$ ，$p$ 是质数（下文的 $p$ 都是质数），那么 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}$ 。

证明：

不与 $n$ 互质的数正好是 $p$ 的倍数，一共有 $p^{k-1}$ 个这样的数

（在 $1$ 到 $p^k$ 之间，$p$ 的倍数是 $p,2p,3p,\dots ,p^{k-1}$）

性质2：由唯一分解定理，设
$n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}$ ，有
$\phi (n)=n\times \prod _{i=1}^s(1-{\displaystyle \frac{1}{p_i}})$。

证明：

$\begin{array}{rlrlrl}\phi (n)& =\prod _{i=1}^s\phi (p_i^{k_i})& =\prod _{i=1}^s(p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}& =\prod _{i=1}^s{p_i}^{k_i}\times (1-\frac{1}{p_i})& =n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})& ◻\end{array}$

好了，用这个就可以求了（就是求 $n$ 的所有质因数）

复杂度 $O(\sqrt{n})$

然后是求多个

线性筛！！！

用了三条性质

$\phi (p)=p-1$

$\phi (i\ast p)=\phi (i)p$ （ $i\mathrm{mod}p=0$ ）

$\phi (i\ast p)=\phi (i)(p-1)$ （ $i\mathrm{mod}p\ne 0$ ）

代码

void getphi(int n){
    memset(vis,0, sizeof(vis));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    int cnt = 0;
    phi[1]=1; 
    for (int i = 2;i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {//第一个条件
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for (int j = 1; j <=cnt && i*prime[j] <= n; j++) {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0){//第二个条件
            	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;      
            }
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//第三个条件
        }
    }
}

多个的是 $O(n)$ 的

同时这个还可以求单个的，时间复杂度还是根号的

代码

for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (!(x % i)) {
            pri[++t] = i;
            phi *= (i - 1);
            x /= i;
            while (!(x % i)) phi *= i, x /= i;
        }
 if (x > 1)
        phi *= (x - 1), pri[++t] = x;

其他性质

$n=\sum _{d|n}\phi (d)$

证明：

考虑小于或等于 $n$ 的所有正整数 $k$，即 $1\le k\le n$。我们可以根据 $k$ 与 $n$ 的最大公约数来对 $k$ 进行分类。

对于每个 $k$，设 $d=gcd(k,n)$，则 $d$ 是 $n$ 的一个因数。由于 $d$ 是 $k$ 和 $n$ 的最大公约数，我们可以将 $k$ 写成 $k=md$，其中 $m$ 是一个整数，且 $gcd(m,n/d)=1$。

现在，我们考虑所有满足 $gcd(k,n)=d$ 的 $k$ 的集合。这个集合中的元素个数正好是 $\phi (n/d)$，因为 $m$ 必须与 $n/d$ 互质，而 $m$ 的取值范围是 $1$ 到 $n/d$。

所以，现在证明了 $n=\sum _{d|n}\phi (n/d)$

由于 $n/d$ 和 $d$ 有对称性，所以证毕

欧拉定理

若 $gcd(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 。

所以，当模数不是质数时求逆元，要约分至 $a$ $m$ 互质，然后逆元就是 $a^{\phi (m)-1}$

后记

大概最重要的就是 $\phi$ 是一个积性函数，（但不是完全！必须互质）